Moment bezwładności z dwóch równych okresów

Rozwiązanie

1. Co wnosi równość okresów?

Dla tej samej bryły i równoległych osi k jest stałe. Ponieważ 0,16 m i 0,25 m są różne, z równości h_1+k^2/h_1=h_2+k^2/h_2 otrzymujemy:

k^2=h_1h_2=0{,}16\cdot0{,}25=0{,}0400\ \mathrm{m^2},\qquad I_C=mk^2=0{,}0800\ \mathrm{kg\,m^2}.

Gdyby obie odległości były jednakowe, ten krok byłby nieuprawniony: równość okresów nie pozwalałaby wtedy wyznaczyć I_C.

2. Oś najszybszych drgań

h_{\min}=k=\sqrt{0{,}0400}=0{,}200\ \mathrm m.

To średnia geometryczna podanych odległości, nie średnia arytmetyczna 0,205 m. Minimalna długość zastępcza wynosi 2k = 0,400 m, zatem T_{\min}=2\pi\sqrt{0{,}400/9{,}81}\approx1{,}269\ \mathrm s.

3. Czy poprawa będzie duża?

Dla dwóch początkowych osi długość zastępcza jest sumą odległości: ℓ = 0,16 + 0,25 = 0,410 m. Ich wspólny okres to T_0=2\pi\sqrt{0{,}410/9{,}81}\approx1{,}285\ \mathrm s. Skrócenie do minimum wynosi około 0,0158 s, czyli 1,23% początkowego okresu.

Mała poprawa ma sens: obie osie były już blisko minimum. W jego otoczeniu zmiana ℓ względem 2k zależy od (h − k)²/h, więc mały błąd położenia nie daje zmiany pierwszego rzędu. W rzeczywistym pomiarze trzeba porównać tę niewielką różnicę okresów z niepewnością czasu i wpływem tarcia; dodatkowe cyfry kalkulatora nie zapewniają jej wykrywalności.

Same momenty względem osi zawieszenia nie są równe: I₁ = 0,0800 + 2,00 · 0,16² = 0,1312 kg·m² i I₂ = 0,2050 kg·m². Jednakowy okres wynika z jednakowego ilorazu Iₒ/(mgh), a nie z jednakowej bezwładności obrotowej.

Powiązana teoria

Przesuń oś wahadła: krótsze ramię nie zawsze skraca okres

Dalsza lektura

Materiał referencyjny