Dwa zawieszenia o jednakowym okresie: suma czy różnica odległości?
Bryła ma promień bezwładności względem osi centralnej k = 0,20 m. Pierwsza oś zawieszenia leży 0,10 m od środka masy. Znajdź inną odległość h₂ dającą ten sam okres małych drgań. Oblicz okres dla g = 9,81 m/s². Dwie osie leżą na prostej przechodzącej przez C, po przeciwnych jego stronach. Wyznacz odległość D między nimi. Co zmieni się w geometrycznej interpretacji D, jeśli umieścimy je po tej samej stronie C?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Dla różnych h₁ i h₂ o jednakowym okresie iloczyn h₁h₂ jest równy k². Położenie względem C rozstrzyga, czy odległości do środka masy należy dodać, czy odjąć.
Rozwiązanie
1. Wybieramy rozwiązanie inne niż początkowe
Równość okresów daje albo h₂ = h₁, albo h₁h₂ = k². Szukamy drugiego przypadku:
h_2=\frac{k^2}{h_1}=\frac{0{,}20^2}{0{,}10}=0{,}40\ \mathrm m.
Jedno zawieszenie jest bliżej C niż k, a drugie dalej. Sprawdźmy obie długości zastępcze: 0,10 + 0,04/0,10 = 0,50 m i 0,40 + 0,04/0,40 = 0,50 m. Ta kontrola nie wymaga znajomości masy bryły.
2. Wspólny okres
T_0=2\pi\sqrt{\frac{0{,}50}{9{,}81}}\approx1{,}419\ \mathrm s.
Nie wstawiamy samego 0,10 m albo 0,40 m do wzoru wahadła matematycznego. Prawidłową długością tego zastępczego modelu jest 0,50 m.
3. Znaczenie geometrii
Po przeciwnych stronach C, na wspólnej prostej, osie dzieli D = h₁ + h₂ = 0,50 m. Właśnie ta suma jest ℓ, więc można tu użyć g = 4π²D/T₀². Bryłę trzeba odwrócić przy zmianie zawieszenia, aby środek masy ponownie leżał poniżej używanej osi.
Po tej samej stronie C odległość osi wyniosłaby D = |0,40 − 0,10| = 0,30 m. Ich modelowe okresy nadal byłyby jednakowe po właściwym ustawieniu bryły, ale długość zastępcza pozostałaby 0,50 m. Użycie 0,30 m w równaniu pomiaru g zaniżyłoby wynik o 40%.
Założyliśmy, że oba miejsca zawieszenia są fizycznie dostępne bez zmiany rozkładu masy. Równość okresów sama w sobie nie mówi, gdzie znajdują się osie ani jaką odległość zmierzył eksperymentator.
Jednostki także kontrolują rachunek: k²/h₁ ma m²/m = m, a h₁h₂ ma m². Warunku h₁h₂ = k² nie można zastąpić równością sumy odległości z k², nawet jeśli przypadkiem podobne liczby dałyby wynik mieszczący się na rysunku.
Powiązana teoria
Przesuń oś wahadła: krótsze ramię nie zawsze skraca okres
Dalsza lektura
Znajdź najlepsze położenie osi
Najpierw przewiduj: Przesuwaj oś ku środkowi masy. Zanim spojrzysz na wykres, przewidź: okres będzie stale malał czy pojawi się minimum?
Pręt o długości 1 m, zawieszony na końcu: h = 0,5 m, I/m = 1/3 m². Przy g = 9,81 m/s² okres wynosi około 1,638 s.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Przy małych wychyleniach T=2\pi\sqrt{\frac{I_{\rm cm}/m+h^2}{gh}}. Dla pręta Icm/m = L²/12, dysku R²/2, a cienkiej obręczy R². Oś pozostaje w obrębie bryły. Suwak położenia osi podaje ułamek maksymalnego h: L/2 dla pręta oraz R dla koła. Nie jest bezpośrednio odległością w metrach.
Wykres pokazuje T(h). Minimum wypada przy h = √(Icm/m). Zbliżanie osi do środka masy osłabia moment siły przywracającej; dla h → 0 okres rośnie bez ograniczenia. Sam punkt h = 0 nie opisuje takiego wahadła i nie jest dostępny. Animacja używa amplitudy 10°, przybliżenia małych kątów i stałego g = 9,81 m/s². Pomija tarcie, podatność zawieszenia oraz opory powietrza.
Dodatkowo T²h = (4π²/g)h² + (4π²/g)(Icm/m). Podane pod wykresem wartości pozwalają zbudować prostą na papierze. Masa skraca się tylko wtedy, gdy porównujesz tę samą geometrię rozkładu masy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto