Gdzie zrobić otwór, żeby pręt wahał się najszybciej?
Jednorodny cienki pręt długości 0,90 m można zawiesić na dowolnej osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego wnętrze. Wyznacz odległość osi dającej najkrótszy okres od środka masy oraz od bliższego końca. Oblicz ten okres dla g = 9,81 m/s². Uzasadnij, że otrzymane położenie rzeczywiście jest dostępne. Przyjmij IC = mL²/12 i pomijalny wpływ wykonania otworu na rozkład masy.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Minimum przypada przy h = √(IC/m). To odległość od środka masy; do wskazania miejsca na pręcie trzeba jeszcze odjąć ją od L/2.
Rozwiązanie
1. Parametr określający kształt
W jednorodnym pręcie k^2=I_C/m=L^2/12. Masa skraca się, ponieważ zmiana gęstości całego pręta w takim samym stosunku nie zmienia zależności okresu od osi. Stąd:
h_{\min}=k=\frac{0{,}90}{\sqrt{12}}\approx0{,}2598\ \mathrm m.
2. Miejsce na rzeczywistym pręcie
Środek jest 0,45 m od końca, więc otwór powinien znajdować się d=0{,}45-0{,}2598\approx0{,}1902\ \mathrm m od bliższego końca. Istnieją dwa symetryczne miejsca: około 19,0 cm od jednego albo od drugiego końca. Po zawieszeniu wybieramy orientację z C pod osią.
Warunek dostępności jest spełniony: 0 < hmin < L/2. Nie pomylmy 0,2598 m od środka z 0,2598 m od końca. Byłyby to różne osie i różne okresy.
3. Najmniejszy okres
\ell_{\min}=2k\approx0{,}5196\ \mathrm m,\qquad T_{\min}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}5196}{9{,}81}}\approx1{,}446\ \mathrm s.
To minimum, ponieważ \ell(h)-2k=(h-k)^2/h\ge0 dla h > 0, a równość występuje tylko przy h = k. Nie wystarczy powiedzieć, że znaleźliśmy jedną oś dającą krótki okres. Wskazaliśmy dolną granicę i położenie, w którym jest osiągana.
Pomijalna masa wyciętego otworu, sztywność pręta, mała amplituda i małe tarcie należą do założeń. Duży otwór lub ciężki uchwyt wymagałyby ponownego wyznaczenia środka masy i IC.
Dla porównania zawieszenie tego samego pręta na końcu dałoby długość zastępczą 0,600 m i okres około 1,554 s. Znaleziona oś zapewnia krótszy okres mimo tego samego przedmiotu i tej samej grawitacji; zmieniono warunki obrotu, a nie masę.
Powiązana teoria
Przesuń oś wahadła: krótsze ramię nie zawsze skraca okres
Dalsza lektura
Znajdź najlepsze położenie osi
Najpierw przewiduj: Przesuwaj oś ku środkowi masy. Zanim spojrzysz na wykres, przewidź: okres będzie stale malał czy pojawi się minimum?
Pręt o długości 1 m, zawieszony na końcu: h = 0,5 m, I/m = 1/3 m². Przy g = 9,81 m/s² okres wynosi około 1,638 s.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Przy małych wychyleniach T=2\pi\sqrt{\frac{I_{\rm cm}/m+h^2}{gh}}. Dla pręta Icm/m = L²/12, dysku R²/2, a cienkiej obręczy R². Oś pozostaje w obrębie bryły. Suwak położenia osi podaje ułamek maksymalnego h: L/2 dla pręta oraz R dla koła. Nie jest bezpośrednio odległością w metrach.
Wykres pokazuje T(h). Minimum wypada przy h = √(Icm/m). Zbliżanie osi do środka masy osłabia moment siły przywracającej; dla h → 0 okres rośnie bez ograniczenia. Sam punkt h = 0 nie opisuje takiego wahadła i nie jest dostępny. Animacja używa amplitudy 10°, przybliżenia małych kątów i stałego g = 9,81 m/s². Pomija tarcie, podatność zawieszenia oraz opory powietrza.
Dodatkowo T²h = (4π²/g)h² + (4π²/g)(Icm/m). Podane pod wykresem wartości pozwalają zbudować prostą na papierze. Masa skraca się tylko wtedy, gdy porównujesz tę samą geometrię rozkładu masy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto