Pręt z ciężarkiem: wspólny środek masy i prędkość w dole
Jednorodny cienki pręt o długości 0,80 m i masie 0,40 kg jest zawieszony na górnym końcu. Do dolnego końca sztywno przymocowano mały ciężarek o masie 0,10 kg, traktowany jako punkt. Układ puszczono z bezruchu przy wychyleniu 12° od pionu. Wyznacz odległość wspólnego środka masy od osi, okres w przybliżeniu małych drgań i maksymalną wartość prędkości kątowej z dokładnego bilansu energii. Przyjmij g = 9,81 m/s², pomiń opory i rozmiar ciężarka.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Sumuj osobno pierwsze momenty masy mᵢhᵢ oraz momenty bezwładności Iᵢ. W bilansie energii pozostaw 1 − cos 12°; przybliżenie małego kąta potrzebne jest tylko w obliczeniu okresu T₀.
Rozwiązanie
1. Środek masy całego układu
Całkowita masa wynosi 0,50 kg. Środek pręta jest 0,40 m od osi, a dołączona masa 0,80 m. Stąd:
h=\frac{0{,}40\cdot0{,}40+0{,}10\cdot0{,}80}{0{,}50}=0{,}480\ \mathrm m.
Ciężarek przesuwa środek masy w dół; użycie h = 0,40 m pominęłoby ten skutek.
2. Wspólna oś obrotu
Moment pręta względem końca to mpL²/3, a punktowego ciężarka mcL². Dodajemy je, bo układ porusza się sztywno:
I_O=\frac{0{,}40\cdot0{,}80^2}{3}+0{,}10\cdot0{,}80^2=0{,}14933\ldots\ \mathrm{kg\,m^2}.
Współczynnik momentu ciężkości wynosi mgh = 0,50 · 9,81 · 0,480 = 2,3544 N·m. Zatem T_0=2\pi\sqrt{I_O/(mgh)}\approx1{,}582\ \mathrm s. To wynik granicy małej amplitudy, nie dokładny okres przy 12°.
3. Prędkość z energii
Spadek wysokości C jest równy h(1 − cos 12°). W najniższym punkcie cała utracona energia potencjalna stała się energią kinetyczną obrotu:
\frac12 I_O\dot\theta_{\max}^{\,2}=mgh(1-\cos12^\circ),\qquad |\dot\theta|_{\max}\approx0{,}8301\ \mathrm{rad/s}.
Prędkość kątową podajemy w rad/s; nie jest to częstotliwość drgań ani prędkość końca pręta w m/s. Dodatkowe mnożenie energii kinetycznej przez masę byłoby błędem: masa jest już zawarta w Iₒ. Dokładny cosinus uwzględnia skończony kąt w energii, lecz nadal zakładamy idealnie sztywny układ bez tarcia.
Dla kontroli można przeliczyć wynik na ruch środka masy: vC,max = h|θ̇|max ≈ 0,3984 m/s. To prędkość punktu C; koniec pręta biegnie szybciej, ponieważ leży dalej od osi. Cała bryła ma wspólną prędkość kątową, ale różne punkty mają różne prędkości liniowe.
Powiązana teoria
Wahadło fizyczne: dlaczego odległość do środka masy nie wystarcza?
Dalsza lektura
Sprawdź, co naprawdę ustala okres
Najpierw przewiduj: Porównaj pręt, dysk i obręcz. Czy ta sama odległość osi od środka masy wystarczy, aby okresy były równe?
Pręt o długości 1 m, zawieszony na końcu: h = 0,5 m, I/m = 1/3 m². Przy g = 9,81 m/s² okres wynosi około 1,638 s.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Przy małych wychyleniach T=2\pi\sqrt{\frac{I_{\rm cm}/m+h^2}{gh}}. Dla pręta Icm/m = L²/12, dysku R²/2, a cienkiej obręczy R². Oś pozostaje w obrębie bryły. Suwak położenia osi podaje ułamek maksymalnego h: L/2 dla pręta oraz R dla koła. Nie jest bezpośrednio odległością w metrach.
Wykres pokazuje T(h). Minimum wypada przy h = √(Icm/m). Zbliżanie osi do środka masy osłabia moment siły przywracającej; dla h → 0 okres rośnie bez ograniczenia. Sam punkt h = 0 nie opisuje takiego wahadła i nie jest dostępny. Animacja używa amplitudy 10°, przybliżenia małych kątów i stałego g = 9,81 m/s². Pomija tarcie, podatność zawieszenia oraz opory powietrza.
Dodatkowo T²h = (4π²/g)h² + (4π²/g)(Icm/m). Podane pod wykresem wartości pozwalają zbudować prostą na papierze. Masa skraca się tylko wtedy, gdy porównujesz tę samą geometrię rozkładu masy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto