Sprawdź twierdzenie: cała energia jest już w drugim ciężarku

Rozwiązanie

1. Położenia i prędkości

W t* mamy cos(10t*) = −1/2, cos(11,5t*) = +1/2, sin(10t*) = +√3/2 i sin(11,5t*) = −√3/2. Położenia wynoszą więc x₁ = 0 i x₂ = −A/2 = −0,0100 m.

v_1=-\frac A2[10\sin(10t)+11{,}5\sin(11{,}5t)],\qquad v_2=-\frac A2[10\sin(10t)-11{,}5\sin(11{,}5t)].

Po podstawieniu otrzymujemy v₁ = 3√3 A/8 ≈ +0,012990 m/s oraz v₂ = −43√3 A/8 ≈ −0,186195 m/s. Zerowe położenie pierwszej masy nie oznacza zerowej prędkości. Druga masa nie jest nawet w maksymalnym wychyleniu A, choć jej obwiednia osiąga właśnie A.

2. Trzy składniki energii

Dla pierwszego ciężarka energia zewnętrznej sprężyny jest zerowa, lecz energia kinetyczna wynosi E₁ = 0,000084375 J = 0,084375 mJ. Dla drugiego energia kinetyczna to 0,017334375 J, a potencjalna zewnętrznej sprężyny 0,005000000 J. Razem E₂ = 22,334375 mJ.

Środkowa sprężyna ma odkształcenie −0,0100 m. Jej energia jest dodatnia:

E_\kappa=\tfrac12\cdot16{,}125\cdot(0{,}0100)^2=0{,}000806250\ \mathrm J=0{,}806250\ \mathrm{mJ}.

Więcej cyfr pozostawiamy tutaj do kontroli bilansu modelu. Nie są deklaracją dokładności rzeczywistego pomiaru.

3. Bilans i ocena twierdzenia

Suma 0,084375 + 22,334375 + 0,806250 = 23,225000 mJ. Na starcie:

E(0)=\tfrac12(k+\kappa)A^2=\tfrac12(100+16{,}125)(0{,}0200)^2=0{,}023225\ \mathrm J.

Bilans się zamyka. Twierdzenie jest fałszywe przy podanym rozdziale energii: E₁ pozostaje dodatnia, a część energii przechowuje wspólna sprężyna. Przybliżony opis powolnej wymiany energii w słabym sprzężeniu nie upoważnia do pomijania tych dwóch składników w dokładnym rachunku chwilowym.

Powiązana teoria

Od warunków początkowych do dudnień i bilansu energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny