Wyznacz sztywności z dwóch zmierzonych częstotliwości

Rozwiązanie

1. Od herców do częstości kołowej

ωₛ = 2πfₛ = 4π rad/s, ωₐ = 6π rad/s. Z pierwszej częstości dostajemy sztywność zewnętrzną:

k=m\omega_s^2=0{,}200(4\pi)^2=3{,}2\pi^2\approx31{,}58\ \mathrm{N/m}.

2. Wydzielamy sprzężenie

Odejmujemy równania mωₐ² = k + 2κ oraz mωₛ² = k. Stąd:

\kappa=\frac m2(\omega_a^2-\omega_s^2)=0{,}100(36-16)\pi^2=2\pi^2\approx19{,}74\ \mathrm{N/m}.

Jednostka kg/s² jest równa N/m. Gdyby wstawić same 2 i 3 zamiast 4π i 6π, oba wyniki byłyby zaniżone o czynnik 4π².

3. Weryfikacja i zamiana etykiet

Podstawienie daje k/m = 16π² s⁻² oraz (k + 2κ)/m = 36π² s⁻², czyli odtwarza obie dane częstotliwości. Po zamianie etykiet otrzymalibyśmy κ = −2π² N/m. Nie opisuje to założonej zwykłej sprężyny z κ ≥ 0. Należałoby sprawdzić rozpoznanie modów albo model układu, zamiast zgubić znak przez wzięcie wartości bezwzględnej.

Powiązana teoria

Dwa sprzężone oscylatory: dlaczego mają dwa mody normalne?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny