Dwie częstości i siły w przeciwnych wychyleniach

Rozwiązanie

1. Częstości i okresy

W modzie symetrycznym sprzężenie nie zmienia długości, więc ωₛ = √(8,00/0,500) = 4,00 rad/s. W antysymetrycznym sztywność efektywna dla każdej masy wynosi k + 2κ = 12,50 N/m, zatem ωₐ = √(12,50/0,500) = 5,00 rad/s.

T_s=\frac{2\pi}{4}=\frac\pi2\approx1{,}571\ \mathrm s,\qquad T_a=\frac{2\pi}{5}\approx1{,}257\ \mathrm s.

Odpowiadają im częstotliwości około 0,637 Hz i 0,796 Hz. Wyniki 4 Hz i 5 Hz pomijałyby czynnik 2π.

2. Siły ze znakiem

Sprężyna sprzęgająca jest skrócona o 0,0400 m: x₂ − x₁ = −0,0400 m. Na pierwszy ciężarek zewnętrzna sprężyna działa siłą −0,160 N, a środkowa −0,0900 N. Suma F₁ = −0,250 N jest skierowana w lewo. Na drugi działają przeciwne siły: F₂ = +0,250 N.

Przyspieszenia wynoszą a₁ = −0,500 m/s² i a₂ = +0,500 m/s². Kontrola: −ωₐ²x₁ = −25 · 0,0200 = −0,500 m/s².

3. Skąd błąd w k + κ?

W tym ruchu oba końce środkowej sprężyny zmieniają położenie. Jej odkształcenie jest dwukrotnie większe od wychylenia jednego ciężarka. Użycie k + κ oznaczałoby traktowanie drugiego końca jako nieruchomego. Jest to inny warunek ruchu, sprzeczny z x₂ = −x₁.

Powiązana teoria

Dwa sprzężone oscylatory: dlaczego mają dwa mody normalne?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny