Nośniki prądu i zależność oporu od temperatury

Potrzebne wiadomości: Prąd, opór, napięcie i proporcjonalność.

Kto przenosi ładunek?

W metalach ruch ładunku wiąże się głównie z elektronami przewodnictwa. Dodatni umowny zwrot prądu jest przeciwny do ich dryfu. W elektrolitach przemieszczają się jony obu znaków, a w zjonizowanym gazie elektrony i jony. Neutralny gaz w zwykłych warunkach może słabo przewodzić. Ruch termiczny nośników nie jest tym samym co ich niewielki uporządkowany dryf.

Prąd ma znak, chociaż szybkość nie ma

Przyjmijmy przekrój naczynia i umowny dodatni kierunek w prawo. Przejście dodatniego ładunku w prawo daje dodatni wkład prądu. Ujemny ładunek przesuwający się w lewo też daje dodatni wkład: w opisie kierunku przenoszonego ładunku odwracają się jednocześnie znak ładunku i znak prędkości.

Jeżeli dodatnie jony przenoszą w prawo 2 C w ciągu 4 s, ich wkład wynosi 0,5 A. Ujemne jony przenoszące w lewo 1 C co do wartości w tym samym czasie dodają 0,25 A. Razem otrzymujemy 0,75 A w prawo, mimo przeciwnych kierunków ruchu obu grup.

Opór nie zawsze jest stały

Dla wielu metali w umiarkowanym zakresie R=R_0[1+\alpha(T-T_0)], z dodatnim α. Silniejsze drgania sieci utrudniają uporządkowany przepływ. Jest to lokalne przybliżenie, nie wzór dla każdego materiału w dowolnej temperaturze.

W półprzewodniku ogrzewanie może zwiększać liczbę dostępnych nośników i obniżać opór. Wpływ domieszek i zakres temperatur ma znaczenie; nie należy uznawać każdego półprzewodnikowego elementu za prosty opornik o jednej ujemnej stałej α.

Żarówka podczas zwiększania napięcia nagrzewa włókno. Dlatego iloraz U/I zmienia się, a wykres I(U) nie musi być prostą. Prawo Ohma o stałym R dotyczy określonych niezmienionych warunków. Dla R₀=100 Ω, α=0,004 K⁻¹ i wzrostu temperatury 50 K model daje 120 Ω. To nie ten sam wzrost co o 50 procent.

Ogrzewanie opornika przy dwóch sposobach zasilania

Dla 80 Ω i α = 0,004 K⁻¹ ogrzanie o 50 K daje względny przyrost αΔT = 0,20, czyli 20%. Opór końcowy wynosi 96 Ω. Przy stałym napięciu 12 V prąd maleje z 0,15 A do 0,125 A, a moc U²/R z 1,8 W do 1,5 W.

Przy źródle utrzymującym stały prąd 0,15 A wniosek o mocy byłby odwrotny: I² R rośnie z 1,8 W do 2,16 W, a źródło musi zwiększyć napięcie do 14,4 V. Zdanie „większy opór zawsze daje więcej ciepła” jest niepełne bez wskazania, co pozostaje stałe.

Co pokazuje charakterystyka żarówki?

Punkt U = 2 V, I = 0,20 A daje iloraz 10 Ω; punkt 6 V, 0,30 A daje 20 Ω. Prosta przez początek i pierwszy punkt nie przechodzi przez drugi. Samo zapisanie R=U/I w każdym stanie nie dowodzi liniowej zależności I od U w całym zakresie.

Różnica napięć podzielona przez różnicę prądów między tymi punktami wynosi 4/0,10 = 40 Ω. Jest nachyleniem siecznej na wykresie U(I), a nie którymś z dwóch oporów statycznych ani dokładną pochodną w jednym punkcie. Przy małym otoczeniu punktu można dopiero badać opór różniczkowy.

W półprzewodnikach zmienia się również dostępność nośników, a nie wyłącznie ich rozpraszanie. Dlatego model liniowy dla metalowego opornika nie zastępuje charakterystyki diody, tranzystora czy termistora.

Skąd w półprzewodniku biorą się dziury?

Dotychczas mówiliśmy o liczbie nośników. Warto zobaczyć, co to znaczy. Elektrony zajmują w krysztale dozwolone stany energetyczne. Część może otrzymać energię wystarczającą do przejścia do pasma przewodnictwa. Pozostaje po nich brak obsadzenia w paśmie walencyjnym, nazywany dziurą. Nie powstał przez to dodatni proton wędrujący przez próbkę.

Gdy sąsiedni elektron zajmie puste miejsce, brak elektronu znajdzie się w miejscu, z którego ten elektron odszedł. Kolejne takie zmiany można opisywać jako ruch dodatniego nośnika. Elektron przesuwa się w jedną stronę, dziura w przeciwną; oba wkłady mogą dawać ten sam umowny zwrot prądu. To podobna kontrola znaków jak dla dwóch rodzajów jonów, lecz inny mechanizm mikroskopowy. Sieć krystaliczna nie musi wędrować razem z dziurą.

Dwie liczby, które decydują o przewodzeniu

Sama obecność nośników nie określa jeszcze prądu. Przy tym samym polu jedne materiały pozwalają im dryfować sprawniej niż inne. Ruchliwość opisuje w liniowym modelu zależność wartości szybkości dryfu od pola: v_d=\mu E. Więcej rozpraszania zwykle oznacza mniejszą ruchliwość, niekoniecznie mniejszą liczbę nośników.

Wyobraźmy sobie przekrój o polu A. W czasie Δt elektrony o koncentracji n i wartości szybkości dryfu v_d przechodzą przez warstwę o objętości A v_dΔt. Liczba przenoszonych elektronów wynosi n A v_dΔt. Po pomnożeniu przez wartość ich ładunku e i podzieleniu przez Δt dostajemy wartość ich wkładu I_n=enAv_d=en\mu_n AE. Dziury wnoszą analogicznie I_p=ep\mu_p AE. W jednorodnej próbce o długości l pole ma wartość E=U/l, więc I=e(n\mu_n+p\mu_p)\frac{A}{l}U oraz R=\frac{l}{e(n\mu_n+p\mu_p)A}. To model małego pola i ustalonych warunków, nie charakterystyka dowolnego złącza półprzewodnikowego.

n i p są liczbami nośników na jednostkę objętości, a nie ładunkami całej próbki. Ruchliwość ma jednostkę m²/(V·s): pomnożenie jej przez V/m daje m/s. Wyrażenie e n μ ma zatem jednostkę A/(V·m), właściwą przewodności elektrycznej właściwej. Widać oddzielnie rolę geometrii, liczby nośników i ich ruchliwości.

Dlaczego temperatura może działać inaczej niż w metalu?

W półprzewodniku samoistnym wzrost temperatury może silnie zwiększać koncentracje elektronów i dziur. Jednocześnie ich ruchliwości mogą maleć wskutek silniejszego rozpraszania. O wyniku decyduje iloczyn, a nie sama strzałka przy jednej wielkości. W materiale domieszkowanym dodatkowe elektrony mogą pochodzić od donorów, a dziury od akceptorów. Nazwy typu n i p określają przewagę rodzaju ruchomych nośników; nie znaczą, że cały kryształ musi mieć odpowiednio ujemny lub dodatni ładunek. Trzeba uwzględnić także nieruchome jony domieszek.

Sprawdźmy umowny przykład, bez przypisywania go każdemu termistorowi. Niech po ogrzaniu obie koncentracje wzrosną dziesięciokrotnie, a obie ruchliwości zmaleją dwukrotnie. Każdy iloczyn koncentracji i ruchliwości wzrasta pięciokrotnie. Przy tej samej geometrii opór maleje pięciokrotnie: z 20 Ω do 4 Ω. Przy stałym napięciu 2 V prąd wzrósłby z 0,10 A do 0,50 A, a moc z 0,20 W do 1,0 W. To rachunek dla zadanych stanów; do przewidzenia temperatury potrzebny byłby jeszcze bilans cieplny.

Zadania do tego tematu

• Metalowy opornik ogrzany o pięćdziesiąt kelwinów
• Czy dwa rodzaje jonów dają prądy przeciwne?
• Nieliniowa charakterystyka żarówki

Dalsza lektura

Materiał referencyjny