Ortogonalność i twierdzenie Parsevala: wartość skuteczna oraz moc

Potrzebne wiadomości: Współczynniki szeregu Fouriera, całkowanie po pełnym okresie, napięcie skuteczne i prawo Joule’a. Pojęcie ortogonalności jest wyprowadzone w lekcji.

Średnia, wartość skuteczna i moc odpowiadają na różne pytania

Dla rzeczywistego napięcia okresowego u(t) średnią oznaczamy przez ū, a wartość skuteczną przez U_sk. Średnia może być zerowa mimo dużych dodatnich i ujemnych napięć. Wartość skuteczna opiera się na kwadracie, więc takie znaki nie znoszą się:

\overline u=\frac1T\int_0^T u(t)\,dt,\qquad U_{sk}=\sqrt{\frac1T\int_0^T u^2(t)\,dt}.

Idealny opornik o stałym R > 0 pobiera chwilową moc p(t) = u²(t)/R. Średnia moc wynosi zatem P = U²_sk/R. Tę interpretację stosujemy do opornika; nie przenosimy jej bez zmian na elementy magazynujące energię ani na opór zależny od temperatury. Samo x² dla wychylenia czujnika nie jest energią w dżulach: do interpretacji mechanicznej potrzebny jest model i odpowiedni współczynnik.

Skąd bierze się znikanie wyrazów mieszanych?

Nazwijmy średnią iloczynu dwóch funkcji ich iloczynem skalarnym w jednym okresie: ⟨f,g⟩ = (1/T)∫fg dt. Dwie funkcje są ortogonalne, gdy ta średnia jest zerowa. Jest to analogia do prostopadłych wektorów, lecz zamiast trzech współrzędnych porównujemy całe przebiegi.

Dla różnych dodatnich liczb całkowitych n i m używamy tożsamości 2 cos A cos B = cos(A − B) + cos(A + B). Oba kosinusy po prawej wykonują całkowitą liczbę cykli w okresie T, więc ich całki są zerowe. Gdy n = m, pierwszy kosinus staje się jedynką i średnia wynosi 1/2:

\frac1T\int_0^T\cos^2(n\omega_0t)\,dt=\frac12,\qquad \frac1T\int_0^T\sin^2(n\omega_0t)\,dt=\frac12.

Średnie iloczynów sinusa z kosinusem oraz różnych sinusów również znikają. Stała jest ortogonalna do każdej dodatniej harmonicznej. Kluczowy jest pełny wspólny okres albo jego całkowita wielokrotność. Dla krótkiego, urwanego fragmentu przebiegu wyrazy mieszane na ogół pozostają.

Wyprowadzamy bilans średniego kwadratu

Wstawiamy u(t) = ū + Σ[aₙ cos(nω₀t) + bₙ sin(nω₀t)] do definicji U²_sk, rozwijamy kwadrat i całkujemy. Średnie wyrazów mieszanych są zerowe. Z każdej sinusoidy zostaje połowa kwadratu współczynnika. Dla skończonej sumy wynika to bezpośrednio z rachunku; dla szeregu o skończonym średnim kwadracie przejście do granicy daje twierdzenie Parsevala:

U_{sk}^{\,2}=\overline u^{\,2}+\frac12\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)=\overline u^{\,2}+\frac12\sum_{n=1}^{\infty}A_n^2.

Składowej stałej nie dzielimy przez dwa. Jej kwadrat nie zmienia się w czasie; średnia kwadratu stałej pozostaje tą samą liczbą. Czynnik 1/2 dotyczy dodatnich częstotliwości sinusoidalnych. Wszystkie składniki mają jednostkę V², więc dopiero pierwiastek daje wolty.

Przykład: napięcie ze składową stałą

Niech u(t) = 1 V + 3 V cos(ω₀t) + 4 V sin(2ω₀t). Średnia to 1 V. Średni kwadrat wynosi 1² + 3²/2 + 4²/2 = 13,5 V², a wartość skuteczna √13,5 V ≈ 3,674 V. Gdy usuniemy samą składową stałą, wartość skuteczna części zmiennej spadnie do √12,5 V ≈ 3,536 V.

Nie wolno dodawać 1 + 3/√2 + 4/√2 jako wartości skutecznej całego przebiegu. Dodają się tutaj kwadraty wartości skutecznych ortogonalnych składowych. Nie wolno też użyć wzoru U_sk = U_m/√2 dla dowolnego kształtu: zależność ta dotyczy pojedynczej sinusoidy bez składowej stałej. Dla idealnego przebiegu ±U wartość skuteczna wynosi U.

Ta sama częstotliwość wymaga zachowania faz

Jeżeli dwa składniki mają tę samą częstotliwość, nie są dwiema różnymi harmonicznymi. Należy najpierw połączyć je w jedną sinusoidę. Dla u₁ = A cos ωt i u₂ = B cos(ωt + φ) średnia kwadratu sumy wynosi:

\left\langle(u_1+u_2)^2\right\rangle=\frac{A^2+B^2+2AB\cos\varphi}{2}.

Wyraz AB cos φ pochodzi ze średniej 2u₁u₂. Dla zgodnych faz może zwiększać moc, dla przeciwnych ją zmniejsza, a dla przesunięcia 90° znika. Dwa równe napięcia o przeciwnych fazach sumują się do zera. Dodanie ich osobno policzonych dodatnich mocy dałoby wtedy oczywisty błąd. W zadaniach chodzi o napięcie wypadkowe na jednym oporniku; nie o sumowanie mocy dwóch odrębnych oporników.

Parseval określa błąd pominięcia harmonicznych

Niech u_M zachowuje średnią i harmoniczne do numeru M, a e = u − u_M. Błąd zawiera wyłącznie pominięte harmoniczne. Z ortogonalności otrzymujemy:

e_{sk}^{\,2}=\frac1T\int_0^T[u(t)-u_M(t)]^2\,dt=\frac12\sum_{n>M}A_n^2.

Dla prostokątnego przebiegu ±2 V całkowity średni kwadrat wynosi 4 V². Zachowanie harmonicznych 1, 3 i 5 daje (32/π²)(1 + 1/9 + 1/25) V² ≈ 3,73222 V². Pozostałe około 0,26778 V² to średni kwadrat błędu, a nie jego wartość skuteczna. Po spierwiastkowaniu otrzymujemy około 0,51747 V.

Takie przybliżenie zachowuje około 93,31% średniej mocy na tym samym oporniku, ale błąd skuteczny wynosi około 25,87% wartości skutecznej oryginału. Procenty różnią się, ponieważ w drugim porównaniu występuje pierwiastek. Co więcej, informacja o średnim kwadracie nie ogranicza błędu w każdej pojedynczej chwili. Przeregulowanie przy skoku może pozostać mimo malejącego błędu całkowego.

Kiedy taki rachunek przestaje wystarczać?

Jeśli mierzony fragment nie obejmuje pełnego wspólnego okresu, trzeba policzyć średni kwadrat bezpośrednio po rzeczywistym czasie obserwacji. Jeśli widmo jest wynikiem DFT z oknem, najpierw ustalamy normalizację i znaczenie jego prążków. Jeśli opornik ma inną wartość dla każdej częstotliwości albo układ zawiera elementy reakcyjne, prosta suma A²/(2R) nie opisuje automatycznie całej mocy.

Dla stacjonarnego szumu używa się gęstości widmowej mocy i odpowiedniego uśredniania. To inny opis niż amplitudy kilku deterministycznych harmonicznych. Nie należy nazywać każdego wykresu |X| „mocą”: moduł, kwadrat modułu, moc w paśmie i moc na jednostkę częstotliwości mają inne jednostki i normalizacje.

Zadania do tego tematu

• Moc sygnału ze składową stałą i dwiema harmonicznymi
• Dlaczego dwóch zgodnych częstotliwości nie wolno liczyć jak niezależnych harmonicznych?
• Ile mocy i jaki błąd zostaje po zachowaniu trzech harmonicznych?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny