Opory hydrauliczne: rozgałęzienia, ciśnienie zasilania i energia

Potrzebne wiadomości: Natężenie przepływu, różnica ciśnień, prawo Poiseuille’a; energia i moc; proste układy równań.

Opór jest właściwością elementu w określonym modelu

Prawo Poiseuille’a zapisane jako zależność spadku ciśnienia od natężenia ma postać:

\Delta p=R_hQ,\qquad R_h=\frac{8\eta L}{\pi a^4},\qquad [R_h]=\mathrm{Pa\cdot s/m^3}.

Indeks h odróżnia opór hydrauliczny od promienia rury. Dla ustalonej geometrii i stałej lepkości jest to element liniowy: dwukrotny Q wymaga dwukrotnego Δp, dopóki zachowane są założenia rozwiniętego, laminarnego przepływu. Zdefiniowanie ilorazu Δp/Q dla dowolnego pomiaru nie dowodzi, że iloraz jest stały w innych stanach. W turbulencji nie możemy z góry przypisywać rurze tej samej liniowej charakterystyki.

W tej lekcji budujemy uproszczone sieci długich kapilar lub elementów o sprawdzonej liniowej charakterystyce. Ciecz jest nieściśliwa, przepływ ustalony, a węzły leżą na tej samej wysokości i mają pomijalnie małe prędkości. Pomijamy straty i zmiany energii kinetycznej w krótkich połączeniach jako małe względem oporów długich odcinków. Są to jawne założenia modelu, potrzebne zwłaszcza przy łączeniu rurek o różnych średnicach.

Połączenie szeregowe: ta sama objętość przechodzi kolejno

Jeżeli między dwoma elementami nie ma rozgałęzienia ani gromadzenia cieczy, to ich natężenia są równe. Ciecz nie „zużywa się” w pierwszym oporze. Oznaczmy ciśnienie pośrednie p_B, a skrajne p_A i p_C. Wtedy:

p_A-p_B=R_1Q,\qquad p_B-p_C=R_2Q.

Po dodaniu równań ciśnienie pośrednie się skraca. Otrzymujemy Δp = (R₁ + R₂)Q, czyli opór zastępczy R_sz = R₁ + R₂. Większemu oporowi przypada większy spadek ciśnienia, ponieważ w obu elementach płynie ten sam Q. Nie muszą mieć takiej samej długości ani spadku ciśnienia.

Połączenie równoległe: wspólne końce, różne przepływy

Dwie gałęzie biegną od tego samego węzła A do tego samego węzła B. Każda ma tę samą różnicę ciśnień p_A − p_B, ale może mieć inny opór i inne natężenie. W węźle wejściowym zachowanie objętości w stanie ustalonym daje Q = Q₁ + Q₂. Stąd:

Q=\frac{\Delta p}{R_1}+\frac{\Delta p}{R_2},\qquad \frac{1}{R_{\mathrm{rown}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}.

Dla dwóch dodatnich oporów R_rown = R₁R₂/(R₁ + R₂). Jest mniejszy od każdego oporu gałęzi. Ciecz płynie obiema otwartymi drogami; większy przepływ przypada drodze o mniejszym oporze. Zdanie „cała ciecz wybiera najmniejszy opór” jest błędne. Stosunek natężeń wynosi Q₁/Q₂ = R₂/R₁.

Przykład: wspólne doprowadzenie zmienia ciśnienie w węźle

Źródło utrzymuje na początku doprowadzenia stałe nadciśnienie p₀ = 12 kPa względem wyjść obu gałęzi. Doprowadzenie ma R_s = 1,0·10⁹ Pa·s/m³. Za nim, w węźle N, ciecz rozdziela się na R₁ = 2,0·10⁹ i R₂ = 6,0·10⁹ Pa·s/m³. Charakterystyki są liniowe w rozpatrywanym zakresie. Najpierw zastępujemy równoległe gałęzie jednym oporem:

R_{\mathrm{rown}}=\frac{2\cdot6}{2+6}\cdot10^9=1{,}5\cdot10^9\ \mathrm{Pa\cdot s/m^3}.

Doprowadzenie jest z nim połączone szeregowo. Całkowity opór wynosi 2,5·10⁹ Pa·s/m³. Zatem:

Q=\frac{12000}{2{,}5\cdot10^9}=4{,}8\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}=4{,}8\ \mathrm{ml/s}.

W doprowadzeniu spadek wynosi R_sQ = 4800 Pa. Do gałęzi pozostaje p_N = 12000 − 4800 = 7200 Pa, czyli 7,2 kPa nadciśnienia. Dlatego Q₁ = (7200/(2·10⁹)) m³/s = 3,6·10⁻⁶ m³/s = 3,6 ml/s i Q₂ = (7200/(6·10⁹)) m³/s = 1,2·10⁻⁶ m³/s = 1,2 ml/s. Ich suma wynosi 4,8 ml/s, zgodnie z bilansem węzła.

Dlaczego stara gałąź dostaje mniej?

Przed otwarciem drugiej gałęzi całkowity opór wynosił R_s + R₁ = 3·10⁹ Pa·s/m³. Płynęło 4,0 ml/s, a p_N wynosiło 8,0 kPa. Po otwarciu drugiej gałęzi suma wzrosła do 4,8 ml/s, lecz pierwsza gałąź dostaje już tylko 3,6 ml/s. Większy wspólny przepływ zwiększył spadek w doprowadzeniu i obniżył dostępne ciśnienie w węźle.

Gdyby idealne źródło utrzymywało stałe ciśnienie bezpośrednio w N, przepływ przez niezmienioną gałąź R₁ pozostałby stały. Nasze źródło utrzymuje jednak p₀ przed oporem R_s. Ta różnica w położeniu warunku brzegowego decyduje o odpowiedzi.

Zależność p_N = p₀ − R_sQ nazywamy tutaj charakterystyką zasilania widzianą od węzła. Nie jest uniwersalną charakterystyką każdej pompy; wynika z idealnego stałego p₀ i konkretnego liniowego doprowadzenia. Zmniejszanie oporu odbiorników prowadzi w tym modelu do granicy Q = p₀/R_s, a nie do nieskończonego Q. Ekstrapolację także ogranicza zakres liniowości i warunki przepływu.

Ciśnienie maleje, energia zostaje rozproszona

Przesunięcie objętości ΔV przez odcinek o spadku Δp wymaga wypadkowej pracy sił ciśnienia W = Δp·ΔV. Dla ustalonego Q = ΔV/Δt moc wynosi:

P_{\mathrm{str}}=\Delta p\,Q=R_hQ^2,\qquad \mathrm{Pa\cdot m^3/s}=\mathrm W.

Dla poziomego odcinka o niezmiennym rozwiniętym profilu strumienie energii kinetycznej na obu końcach są równe. Praca ciśnienia nie przyspiesza stale cieczy, lecz jest rozpraszana wskutek lepkości. Przy zmianie wysokości lub profilu trzeba doliczyć odpowiednie zmiany energii potencjalnej i kinetycznej. Każdego spadku ciśnienia w dowolnej zwężce nie wolno utożsamiać z nieodwracalną stratą.

W przykładzie źródło dostarcza p₀Q = 12000·4,8·10⁻⁶ = 0,0576 W. Doprowadzenie rozprasza 23,04 mW, pierwsza gałąź 25,92 mW, druga 8,64 mW. Suma wynosi 57,60 mW. „Strata” dotyczy użytecznej energii mechanicznej: energia całkowita nie znika, tylko przechodzi w energię wewnętrzną i ewentualnie odpływa do otoczenia.

Kontrola rozwiązania sieci

Sprawdź sumę natężeń w każdym węźle i sumę spadków ciśnień na każdej drodze między tymi samymi końcami. Następnie sprawdź bilans mocy. Te trzy kontrole wykrywają różne błędy: zgubioną gałąź, źle przyjęte ciśnienie węzła lub niewłaściwy znak pracy. Na końcu wróć do modelu: czy opory rzeczywiście pozostają liniowe przy otrzymanych Q?

Zadania do tego tematu

• Opory hydrauliczne — zadanie: ciśnienie między elementami szeregowymi
• Opory hydrauliczne — zadanie: zamknięcie jednej gałęzi i dwa rodzaje źródła
• Opory hydrauliczne — zadanie: druga gałąź osłabia pierwszą

Dalsza lektura

Materiał referencyjny