Opory hydrauliczne — zadanie: druga gałąź osłabia pierwszą

Rozwiązanie

1. Początkowa pojedyncza droga

Opór całkowity wynosi (2 + 6)·10⁹ = 8·10⁹ Pa·s/m³. Dlatego:

Q_{\mathrm{przed}}=\frac{15000}{8\cdot10^9}=1{,}875\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}=1{,}875\ \mathrm{ml/s}.

W doprowadzeniu tracimy 2·10⁹·1,875·10⁻⁶ = 3750 Pa. Węzeł N ma nadciśnienie 15000 − 3750 = 11250 Pa = 11,25 kPa.

2. Sieć po dołączeniu drugiej gałęzi

Opór równoległy wynosi (6·3)/(6 + 3)·10⁹ = 2·10⁹ Pa·s/m³. Razem z doprowadzeniem otrzymujemy 4·10⁹ Pa·s/m³. Zatem Q_po = (15000/(4·10⁹)) m³/s = 3,75·10⁻⁶ m³/s = 3,75 ml/s.

Spadek w doprowadzeniu rośnie do 2·10⁹·3,75·10⁻⁶ = 7500 Pa. Nadciśnienie N maleje do 7,50 kPa. Z tej wartości obliczamy gałęzie:

Q_1=\frac{7500}{6\cdot10^9}\ \mathrm{m^3/s}=1{,}25\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}=1{,}25\ \mathrm{ml/s},\qquad Q_2=\frac{7500}{3\cdot10^9}\ \mathrm{m^3/s}=2{,}50\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}=2{,}50\ \mathrm{ml/s}.

Suma 1,25 + 2,50 = 3,75 ml/s jest równa przepływowi doprowadzenia. Przez R₂ płynie dwa razy więcej niż przez R₁, ponieważ jego opór jest dwa razy mniejszy przy tej samej różnicy ciśnień.

3. Więcej łącznie, mniej w starej gałęzi

Całkowity przepływ wzrósł dwukrotnie z 1,875 do 3,75 ml/s. Przepływ starej gałęzi spadł z 1,875 do 1,25 ml/s, czyli do 2/3 pierwotnej wartości. Źródło nie utrzymuje 15 kPa w N: utrzymuje tę wartość przed wspólnym oporem, w którym wzrósł spadek ciśnienia.

4. Kontrola energetyczna

Źródło dostarcza 15000·3,75·10⁻⁶ = 0,05625 W = 56,25 mW. Doprowadzenie rozprasza 7500·3,75·10⁻⁶ W = 0,028125 W = 28,125 mW. Gałęzie rozpraszają 7500·1,25·10⁻⁶ W = 0,009375 W = 9,375 mW oraz 7500·2,50·10⁻⁶ W = 0,018750 W = 18,750 mW.

Suma 28,125 + 9,375 + 18,750 = 56,250 mW zamyka bilans. Energia nie ginie w węźle, a ciecz nie wybiera wyłącznie łatwiejszej gałęzi. Za wynik odpowiada jednoczesne spełnienie bilansów objętości, ciśnienia i energii przy zadanym źródle.

Powiązana teoria

Opory hydrauliczne: rozgałęzienia, ciśnienie zasilania i energia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny