Przesuń oś wahadła: krótsze ramię nie zawsze skraca okres

Potrzebne wiadomości: Okres wahadła fizycznego, twierdzenie Steinera, porównywanie funkcji i jednostki momentu bezwładności.

Przesuwamy oś, zachowując to samo ciało

Rozpatrujemy jedną sztywną bryłę o masie m i centralnym momencie bezwładności I_C. Wszystkie porównywane osie są poziome i równoległe do siebie. Zmieniamy odległość h między osią zawieszenia a środkiem masy, a przed pomiarem ustawiamy środek masy poniżej osi. Zakładamy małe amplitudy i pomijalne opory. Dokręcanie ciężarków do bryły byłoby innym doświadczeniem, bo zmieniałoby także I_C i środek masy.

Wygodnie opisać rozkład masy jedną długością k, zwaną promieniem bezwładności względem osi centralnej:

k^2=\frac{I_C}{m},\qquad I_O=m(k^2+h^2).

k nie musi być promieniem geometrycznym przedmiotu. Informuje, na jakiej odległości od osi trzeba by skupić tę samą masę, aby otrzymać taki sam moment. Zmiana h nie zmienia k, dopóki masa bryły i kierunek osi centralnej pozostają takie same.

Dwa skutki ruchu osi w jednym wyrażeniu

Po podstawieniu do wzoru na okres dostajemy:

T_0^2=\frac{4\pi^2}{g}\left(h+\frac{k^2}{h}\right),\qquad \ell(h)=h+\frac{k^2}{h},\quad h>0.

Pierwszy składnik długości zastępczej maleje, gdy przybliżamy oś do C. Drugi wtedy rośnie. Blisko C pozostaje niezerowa bezwładność I_C, a ramię ciężaru prawie znika. Taki układ wraca bardzo powoli. Przy dużym h wzrost momentu bezwładności jak mh² zaczyna przeważać nad wzrostem ramienia jak h. Samo słowo „krótsze” nie rozstrzyga więc o okresie.

Minimum bez różniczkowania

Dla h > 0 możemy przekształcić długość zastępczą tak, by od razu zobaczyć dolną granicę:

h+\frac{k^2}{h}=2k+\frac{(h-k)^2}{h}\ge 2k.

Ostatni składnik jest nieujemny i znika tylko przy h = k. Ponieważ pierwiastek jest funkcją rosnącą, wtedy również okres jest najmniejszy:

h_{\min}=k=\sqrt{\frac{I_C}{m}},\qquad T_{\min}=2\pi\sqrt{\frac{2k}{g}}.

To minimum dla wszystkich dodatnich h w przyjętym modelu. Rzeczywisty przedmiot może nie pozwalać na zawieszenie w tym miejscu. Jeśli dostępne są tylko konkretne otwory lub ograniczony zakres osi, porównujemy wartości okresu w dozwolonych położeniach. Nie wybieramy punktu poza bryłą bez uwzględnienia uchwytu, który mógłby zmienić rozkład masy.

Przykład: najszybsze wahadło z jednego pręta

Dla jednorodnego cienkiego pręta L = 1,20 m mamy I_C = mL²/12, zatem k = L/√12 ≈ 0,3464 m. Oś dająca najmniejszy okres znajduje się o tyle od środka pręta, czyli około 0,2536 m od bliższego końca. Przy g = 9,81 m/s²:

\ell_{\min}=2k\approx0{,}6928\ \mathrm m,\qquad T_{\min}\approx1{,}670\ \mathrm s.

Zawieszenie na końcu oznacza h = 0,60 m, ℓ = 0,80 m i T₀ ≈ 1,794 s. Przesunięcie osi ku środkowi początkowo skraca okres, ale tylko do minimum. Dalsze przybliżanie do C ponownie go wydłuża. Dla h = 0,20 m mamy ℓ = 0,20 + 0,12/0,20 = 0,80 m, więc otrzymujemy dokładnie ten sam okres modelowy co na końcu pręta.

Dwie różne odległości, jednakowe okresy

Sprawdźmy, kiedy h₁ i h₂ dają tę samą długość zastępczą. Po odjęciu obu wyrażeń i wyłączeniu wspólnego czynnika otrzymujemy:

h_1+\frac{k^2}{h_1}=h_2+\frac{k^2}{h_2}\quad\Longrightarrow\quad(h_1-h_2)\left(1-\frac{k^2}{h_1h_2}\right)=0.

Jedna możliwość to h₁ = h₂. Nie jest ona informacją o k: jednakowe odległości od C dają jednakowy okres z samej symetrii wzoru. Jeżeli odległości są różne, warunek brzmi h₁h₂ = k². Jedna odległość jest wtedy mniejsza od k, a druga większa. Suma tych odległości jest wspólną długością zastępczą:

\ell=h_1+\frac{h_1h_2}{h_1}=h_1+h_2.

W przykładzie pręta 0,20 · 0,60 = 0,12 m² = k². Kiedy h₁ zbliża się do zera, drugie położenie potrzebne do wyrównania okresów oddala się bez ograniczeń. Nie każda para wynikająca z równania musi mieścić się w fizycznym przedmiocie.

Kiedy odległość między osiami jest długością zastępczą?

Jeżeli dwa punkty zawieszenia znajdują się po przeciwnych stronach środka masy, leżą na tej samej prostej przez C, a odległości h₁ i h₂ są różne oraz dają ten sam okres, odległość między osiami wynosi D = h₁ + h₂ = ℓ. Po odwróceniu bryły C znów musi znaleźć się poniżej używanej osi. Taka odwracalność pozwala wyznaczyć g z D i wspólnego okresu, bez osobnego obliczania I_C:

g=\frac{4\pi^2D}{T_0^2}.

Jeśli osie leżą po tej samej stronie C, ich odległość to |h₂ − h₁|, a nie h₁ + h₂. Jeżeli leżą po przeciwnych stronach, ale h₁ = h₂, sama równość okresów także nie dowodzi D = ℓ. Te dwa geometryczne warunki chronią przed użyciem wzoru odwracalnego wahadła tam, gdzie nie został wyprowadzony.

Równanie wyjściowe znajdziesz w lekcji o momencie przywracającym. Całą serię różnych położeń osi wykorzystamy w pomiarze g z wykresu.

Zadania do tego tematu

• Gdzie zrobić otwór, żeby pręt wahał się najszybciej?
• Dwa zawieszenia o jednakowym okresie: suma czy różnica odległości?
• Moment bezwładności z dwóch równych okresów

Dalsza lektura

Materiał referencyjny