Dlaczego impuls o wypełnieniu jednej czwartej ma parzyste harmoniczne?

Rozwiązanie

1. Pole impulsu wyznacza średnią

Napięcie 6 V trwa przez jedną czwartą okresu. Pole ze znakiem w okresie to 6 V · T/4, więc średnia wynosi 1,50 V. Funkcja jest parzysta, zatem bₙ = 0 dla każdego n. To nie jest antysymetria półokresowa: po przesunięciu o T/2 dodatni impuls nie staje się impulsem ujemnym.

2. Całkujemy tylko po impulsie

a_n=\frac{12\,\mathrm{V}}{T}\int_{-T/8}^{T/8}\cos(n\omega_0t)\,dt=\frac{12\,\mathrm{V}}{\pi n}\sin\frac{n\pi}{4}.

Granice symetryczne dają dwa jednakowe wkłady. Czynnik ω₀ = 2π/T skraca czas T, dlatego końcową jednostką pozostaje wolt. Gdyby impuls był przesunięty, otrzymalibyśmy te same amplitudy, lecz inne fazy i niekoniecznie zerowe bₙ.

3. Odczytujemy zera oraz znaki

Dla n = 1, 2, 3, 4 otrzymujemy kolejno a₁ ≈ 2,70095 V, a₂ ≈ 1,90986 V, a₃ ≈ 0,90032 V i a₄ = 0. Druga harmoniczna jest więc wyraźnie obecna. Zero pojawia się dla każdego n będącego wielokrotnością czterech, ponieważ wtedy sin(nπ/4) = 0.

Dalsze współczynniki mogą być ujemne. Na przykład a₅ < 0 oznacza kosinus o dodatniej amplitudzie |a₅| i fazie π, a nie „ujemną wysokość” w jednostronnym widmie amplitudowym. Współczynniki ze znakami i amplitudy są różnymi sposobami zapisu tych samych składowych.

Wynik: średnia 1,50 V, wszystkie bₙ = 0; aₙ = 12 sin(nπ/4)/(πn) V. Wartości a₁, a₂, a₃ to około 2,70095; 1,90986; 0,90032 V. Nieobecność harmonicznej czwartej nie usuwa harmonicznej drugiej.

Powiązana teoria

Szereg Fouriera: harmoniczne, faza i symetria przebiegu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny