Wychylenie, średnia i faza drugiej harmonicznej

Rozwiązanie

1. Ustalamy wspólny okres i współczynniki

Składowa 5 Hz jest obecna, a 10 Hz jest jej drugą harmoniczną. Najmniejszy okres wynosi T = 1/(5 Hz) = 0,200 s. Średnia każdej sinusoidy po tym czasie jest zerowa, więc x̄ = 3 mm. Mamy a₁ = 4 mm, b₂ = −2 mm; wszystkie pozostałe aₙ i bₙ są zerowe.

2. Amplituda jest nieujemna, znak przechodzi do fazy

Dla pierwszej harmonicznej A₁ = 4 mm i φ₁ = 0. Dla drugiej A₂ = 2 mm. Wymagamy a₂ = 2 mm cos φ₂ = 0 i b₂ = −2 mm sin φ₂ = −2 mm. Spełnia to φ₂ = +π/2, czyli +90°, z dokładnością do pełnych obrotów:

-2\,\mathrm{mm}\sin(2\omega_0t)=2\,\mathrm{mm}\cos(2\omega_0t+\pi/2).

Wybór −90° odwróciłby znak tej składowej. Sam dodatni słupek o wysokości 2 mm nie rozróżnia obu przypadków.

3. Sprawdzamy odtworzone wychylenie

W chwili zero kosinus jest równy jeden, a sinus zero: x(0) = 7 mm. Dla t = T/8 otrzymujemy ω₀t = π/4 oraz 2ω₀t = π/2:

x(T/8)=\left(3+4\frac{\sqrt2}{2}-2\right)\,\mathrm{mm}=(1+2\sqrt2)\,\mathrm{mm}\approx3{,}828\,\mathrm{mm}.

Sprawdziliśmy wartość chwilową, a nie amplitudę całego złożonego ruchu. Dodanie 3 + 4 + 2 nie daje ogólnie jego maksimum, bo składowe nie osiągają swoich maksimów równocześnie.

Wynik: T = 0,200 s; średnia 3 mm; A₁ = 4 mm, φ₁ = 0°; A₂ = 2 mm, φ₂ = +90°; x(0) = 7 mm, x(T/8) ≈ 3,828 mm. Do rekonstrukcji potrzeba amplitud, faz i średniej, z tym samym początkiem czasu.

Powiązana teoria

Szereg Fouriera: harmoniczne, faza i symetria przebiegu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny