Moc sygnału ze składową stałą i dwiema harmonicznymi

Rozwiązanie

1. Oddzielamy średnią od wahań

Obie sinusoidy mają po okresie T średnią zero, dlatego ū = 1,00 V. Część zmienna to u − ū. Zmiana fazy jednej z harmonicznych nie zmienia ani jej amplitudy, ani faktu, że w czasie T wykonuje ona całkowitą liczbę cykli.

2. Sumujemy średnie kwadraty

U_{sk}^{\,2}=1^2+\frac{3^2}{2}+\frac{4^2}{2}=13{,}5\,\mathrm{V}^2,\qquad U_{sk}\approx3{,}67423\,\mathrm{V}.

Dla samej części zmiennej odejmujemy wkład stały przed wyciągnięciem pierwiastka: U²_zm,sk = 13,5 − 1 = 12,5 V², więc U_zm,sk ≈ 3,53553 V. Nie odejmujemy 1 V od 3,67423 V; średnia i część zmienna składają się tu w kwadratach.

3. Przeliczamy wynik na moc

P=\frac{U_{sk}^{\,2}}R=\frac{13{,}5\,\mathrm{V}^2}{50{,}0\,\Omega}=0{,}270\,\mathrm{W}.

Stała składowa daje 0,020 W, pierwsza harmoniczna 0,090 W, a druga 0,160 W. To moc na tym samym idealnym oporniku uśredniona po pełnym okresie; nie chwilowa suma maksimów. Jednostka V²/Ω jest watem, zgodnie z prawem Ohma.

Zmiana fazy drugiej harmonicznej nie zmienia 4²/2 ani ortogonalności względem pierwszej i stałej. Moc pozostaje 0,270 W, mimo że kształt u(t) i jego maksima mogą się zmienić. Dla uśrednienia po krótszym, niecałkowitym fragmencie okresu taki wniosek wymagałby ponownego rachunku całki.

Wynik: średnia 1,00 V; U_sk ≈ 3,67423 V; U_zm,sk ≈ 3,53553 V; P = 0,270 W, niezależnie od wskazanej zmiany fazy przy pełnym okresie.

Powiązana teoria

Ortogonalność i twierdzenie Parsevala: wartość skuteczna oraz moc

Dalsza lektura

Materiał referencyjny