Poiseuille — zadanie: lepkość z profilu i przepływ centralnym rdzeniem
W ustalonym, rozwiniętym przepływie Newtonowskiej cieczy w poziomej rurze zmierzono prędkość na osi uₘₐₓ = 0,060 m/s. Promień rury wynosi a = 1,0 mm, a spadek ciśnienia na odcinku L = 0,40 m wynosi Δp = 960 Pa. Przyjmij profil paraboliczny i brak poślizgu.
a) Wyznacz η, prędkość w odległości a/2 od osi i średnią prędkość. b) Oblicz całkowite Q w ml/min. c) Jaka część Q przepływa przez centralny dysk o promieniu a/2? Porównaj ją z udziałem pola tego dysku. Możesz skorzystać z sumowania współosiowych pierścieni.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Wzór na prędkość maksymalną zawiera 4ηL, a na średnią 8ηL. W części c) całkuj u(r)·2πr od zera do a/2, po czym podziel przez taki sam wynik z górną granicą a.
Rozwiązanie
1. Od pomiaru prędkości do lepkości
Na osi r = 0, zatem umax = Δpa²/(4ηL). Przekształcamy równanie i zamieniamy promień na 0,0010 m:
\eta=\frac{\Delta p\,a^2}{4Lu_{\max}}=\frac{960\cdot10^{-6}}{4\cdot0{,}40\cdot0{,}060}=0{,}010\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Przy r = a/2 prędkość jest równa 1 − (1/2)² = 3/4 wartości osiowej, czyli 0,045 m/s. Średnia po całym polu wynosi ū = umax/2 = 0,030 m/s. To trzy różne wielkości.
2. Całkowity przepływ
Q=\pi a^2\bar u=\pi\cdot10^{-6}\cdot0{,}030\approx9{,}4248\cdot10^{-8}\ \mathrm{m^3/s}\approx5{,}6549\ \mathrm{ml/min}.
Wartość około 5,7 ml/min uzyskaliśmy z prędkości średniej, nie z pojedynczego pomiaru osiowego traktowanego jako reprezentatywny dla całego przekroju.
3. Rdzeń zajmuje małe pole, ale płynie szybciej
Oznaczmy promień badanego dysku przez b. Wkład pierścienia to 2πr umax(1 − r²/a²)dr. Po zsumowaniu otrzymujemy:
Q_b=2\pi u_{\max}\left(\frac{b^2}{2}-\frac{b^4}{4a^2}\right),\qquad \frac{Q_b}{Q}=2\left(\frac{b}{a}\right)^2-\left(\frac{b}{a}\right)^4.
Dla b/a = 1/2 wynik wynosi 2·1/4 − 1/16 = 7/16 = 0,4375. Centralnym dyskiem przepływa 43,75% całego Q, choć zajmuje tylko (b/a)² = 25% pola. Jego udział jest większy, ponieważ znajdują się tam szybsze warstwy.
Kontrola granic: dla b = 0 przepływ centralny znika; dla b = a wzór daje całe Q. Obie kontrole są spełnione. Założenie jednolitej prędkości dałoby udział 25%, co ignorowałoby zmierzony profil paraboliczny.
Powiązana teoria
Przepływ Poiseuille’a: profil prędkości i czwarta potęga promienia
Dalsza lektura
Promień zmienia znacznie więcej niż pole
Najpierw przewiduj: Podwój promień przy tej samej różnicy ciśnień. Porównaj przepływ i sprawdź ponownie, czy założenia modelu są spełnione.
R = 1 mm, L = 1 m, η = 1 mPa·s, Δp = 100 Pa i ρ = 1000 kg/m³: Q ≈ 0,03927 ml/s, v średnia = 0,0125 m/s, Re = 25. Oszacowana długość wlotowa wynosi 0,0025 m.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
v(r)=\frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2),\quad Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\eta L}. Prędkość przy ściance jest zerowa, a średnia po przekroju równa połowie prędkości na osi. Przyjmujemy poziomą rurkę kołową, ciecz Newtonowską o stałej gęstości 1000 kg/m³ i lepkości, przepływ ustalony oraz w pełni rozwinięty.
Kontrola stosowalności korzysta z Re = ρvśr(2R)/η i oszacowania Lwlot ≈ 0,05 Re·2R. Przyjmujemy ostrożny warunek orientacyjny: Re < 2000 i Lwlot ≤ 0,1 L. Odcinek rozwijania profilu powinien zajmować niewielką część rurki, ponieważ powoduje dodatkowe straty ciśnienia. Ten próg nie oznacza błędu wyniku mniejszego niż 10% ani nie gwarantuje laminarności; zaburzenia i warunki wlotowe też mają znaczenie. Gdy próba nie przechodzi tej kontroli, ukrywamy profil jako niewiarygodną prognozę; Re jest wtedy tylko wartością wynikającą z testowanego modelu.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto