Zasada zachowania energii w polu grawitacyjnym, centralnym - zadanie 2

Dane:
H=R-R_z , gdzie R jest promieniem orbity geostacjonarnej.
E=const

v=?



Korzystamy między innymi z zasady zachowania energii:

- prosty wniosek z zasady zachowania energii – zawsze prawdziwy.
E_{p1}+E_{k1}=E_{p2}+E_{k2}


- energia potencjalna ciała na powierzchni ziemi, mamy do czynienia z oddziaływaniem grawitacyjnym, więc nie możemy zastosować zwyczajnego wzoru na energię potencjalną mgh, gdyż g nie jest w polu grawitacyjnym takie samo, zmienia się, stałe jest tylko w przypadku gdy h jest dużo mniejsze od Rz a w tym przypadku tak nie jest.
E_{p1}=-\frac{GM_{z}m}{R_{z}}



E_{k1}=\frac{mv^2}{2} - Energia kinetyczna związana z ruchem ciała, którą nadajemy ciału nadając mu prędkość.


E_{p2}=-\frac{GM_{z}m}{R}
Taką natomiast energię potencjalną będzie miało to ciało gdy wzniesie się na wysokość równą wysokości orbity geostacjonarnej


E_{k2}=0
Natomiast gdy wzniesie się na wysokość równą wysokości orbity geostacjonarnej energia kinetyczna będzie równa zero, gdyż H jest maksymalną – ostateczną wysokością jaką może osiągnąć to ciało.

Zestawiamy to wszystko:

-\frac{GM_{z}m}{R_{z}}+\frac{mv^2}{2}=-\frac{GM_{z}m}{R}

Od teraz zaczynamy przekształcać tak aby otrzymać v.

\frac{v^2}{2}=\frac{GM_{z}}{R_{z}}-\frac{GM_{z}}{R}


v^2=\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-\frac{2GM_{z}}{R}


v^2=2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{R}  \right )


v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{R}  \right )}


Wszystko byłoby skończone ale nie mamy R – promienia orbity geostacjonarnej. Musimy więc go wyprowadzić:

Wyprowadzenie promienia orbity geostacjonarnej:
Orbita geostacjonarna a więc taka na jakiej ciało będzie się znajdować cały czas nad tym samym miejscem nad powierzchnią Ziemi.
Muszą być spełnione warunki:

T=T_{Ziemi}=24h=86400s

A więc okres obiegu tego ciała musi być równy okresowi obiegu Ziemi - jednej dobie.
Oraz:

F_{d}=F_{g}
A więc siła odśrodkowa działająca na obracające się po orbicie geostacjonarnej ciało musi być równa sile grawitacji. Rozpisując ten warunek mamy:

\frac{mv^2}{R}=G\frac{M_{z}m}{R^2}

Gdzie R jest promieniem orbity geostacjonarnej a więc jest równy sumie długości promienia Ziemi „Rz” i wysokości „H” – która jest odległością orbity geostacjonarnej od powierzchni Ziemi i jednocześnie to właśnie ją mamy policzyć. Zapisać więc można:

Dodatkowo musimy wiedzieć też coś o prędkości z jaką porusza się na orbicie geostacjonarnej dowolne ciało.
v_{dc}=\frac{2\pi R}{T}

Zaczniemy od równowagi sił, bo to dla nas najważniejsze równanie, dzielimy je przez masę „m” i jednocześnie mnożymy przez promień orbity geostacjonarnej „R”. Otrzymujemy:

Podstawiamy za Vdc.

Czyli otrzymujemy:

\frac{4 {\pi}^2 R^2}{T^2}=\frac{GM}{R}


Wypada trochę poprzekształcać, otrzymujemy:

4 {\pi}^2 R^3=GMT^2

Przekształćmy tak, aby otrzymać R, otrzymujemy:

R=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}


Teraz mając promień orbity geostacjonarnej możemy podstawić i policzyć poszukiwaną prędkość:



v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}}  \right )}

Przekształcamy dalej:

v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\sqrt[3]{\frac{4 {\pi}^2 }{GM_{z}T^2}}  \right )}



v=\sqrt{\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-2GM_{z}\sqrt[3]{\frac{4 {\pi}^2 }{GM_{z}T^2}} }



v=\sqrt{\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-\sqrt[3]{\frac{32 {\pi}^2 \cdot G^3M^3_{z}}{GM_{z}T^2}} }



v=\sqrt{\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-\sqrt[3]{\frac{32 {\pi}^2 \cdot G^2M^2_{z}}{T^2}} }

Po podstawieniu danych wychodzi
v=0,98v_II

Ale lepiej policzyć R, zgodnie ze wzorem:

R=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}

R=4,2303864 \cdot 10^7 m

I teraz wstawić do równania:

v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{R}  \right )}

Wychodzi:
v=10,32553821 \frac{km}{s}
Co jest równe:
v=0,9230769004v_{II}


Standardowo, jeżeli są jakieś pytania prosimy o komentarze.