Niepewność nachylenia a niepewność wyznaczonego g
Dopasowanie Y = aX + b dla wahadła fizycznego dało a = 4,025 s²/m ze standardową niepewnością u(a) = 0,020 s²/m oraz b = 0,161 m·s². Masa bryły wynosi 0,750 kg. Przyjmij, że u(a) uwzględnia już właściwy model niepewności pomiaru. Wyznacz g i jego standardową niepewność w przybliżeniu pierwszego rzędu, a także punktowe oszacowania k i IC. Czy same podane liczby wystarczają do wyznaczenia niepewności IC?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
g jest odwrotnie proporcjonalne do a, więc w pierwszym przybliżeniu względne niepewności g i a są równe. Moment centralny obliczysz z IC = mb/a; do jego niepewności potrzebujesz więcej informacji.
Rozwiązanie
1. Przyspieszenie grawitacyjne
Zależność nachylenia od g to a = 4π²/g, zatem:
g=\frac{4\pi^2}{4{,}025}\approx9{,}8083\ \mathrm{m/s^2}.
Jednostka 1/a jest m/s². Nie przeliczamy a na jednostkę g przez samą zamianę etykiety: konieczne jest odwrócenie i czynnik 4π².
2. Propagacja niepewności
u(g)\approx\frac{4\pi^2}{a^2}u(a)=\frac{4\pi^2\cdot0{,}020}{4{,}025^2}\approx0{,}04874\ \mathrm{m/s^2}.
Po zaokrągleniu zapisujemy g = 9,81 m/s² oraz u(g) = 0,05 m/s², czyli g = (9,81 ± 0,05) m/s² ze wskazaniem, że ± opisuje niepewność standardową. Nie jest to automatycznie przedział o poziomie ufności 95% ani granica wszystkich możliwych błędów. Względny wynik można skontrolować: u(g)/g ≈ 0,020/4,025 ≈ 0,497%.
3. Rozkład masy
k^2=\frac{0{,}161}{4{,}025}=0{,}0400\ \mathrm{m^2},\qquad k=0{,}200\ \mathrm m,\qquad I_C=0{,}750\cdot0{,}0400=0{,}0300\ \mathrm{kg\,m^2}.
To punktowe oszacowania. Do niepewności IC potrzebna jest niepewność b, informacja o kowariancji a i b oraz ewentualna niepewność masy. Parametry pochodzące z jednego dopasowania zwykle nie są niezależne. Przepisanie względnej niepewności samego a na IC pomijałoby te składniki.
Przyjęliśmy, że model niepewności nachylenia jest poprawny. Gdyby np. zignorowano wspólny błąd położenia C albo amplitudę, podane u(a) nie naprawiłoby tego automatycznie podczas przeliczenia na g.
Większe nachylenie oznacza mniejsze g. Znak pochodnej dg/da jest ujemny, natomiast standardowa niepewność jest nieujemna, dlatego w jej przeliczeniu stosujemy wartość bezwzględną pochodnej. Znaku zmiany nie przenosimy na u(g).
Powiązana teoria
Zmierz g wahadłem fizycznym: dlaczego wykreślamy T²h względem h²?
Dalsza lektura
Od okresu do prostego wykresu
Najpierw przewiduj: Zapisz T i h dla trzech zawieszeń. Oblicz T²h i h²: dlaczego te punkty układają się na prostej? To przewidywania modelu, nie pomiary.
Pręt o długości 1 m, zawieszony na końcu: h = 0,5 m, I/m = 1/3 m². Przy g = 9,81 m/s² okres wynosi około 1,638 s.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Przy małych wychyleniach T=2\pi\sqrt{\frac{I_{\rm cm}/m+h^2}{gh}}. Dla pręta Icm/m = L²/12, dysku R²/2, a cienkiej obręczy R². Oś pozostaje w obrębie bryły. Suwak położenia osi podaje ułamek maksymalnego h: L/2 dla pręta oraz R dla koła. Nie jest bezpośrednio odległością w metrach.
Wykres pokazuje T(h). Minimum wypada przy h = √(Icm/m). Zbliżanie osi do środka masy osłabia moment siły przywracającej; dla h → 0 okres rośnie bez ograniczenia. Sam punkt h = 0 nie opisuje takiego wahadła i nie jest dostępny. Animacja używa amplitudy 10°, przybliżenia małych kątów i stałego g = 9,81 m/s². Pomija tarcie, podatność zawieszenia oraz opory powietrza.
Dodatkowo T²h = (4π²/g)h² + (4π²/g)(Icm/m). Podane pod wykresem wartości pozwalają zbudować prostą na papierze. Masa skraca się tylko wtedy, gdy porównujesz tę samą geometrię rozkładu masy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto