Okres drgań, zanik obwiedni i powrót stanu to różne czasy

Rozwiązanie

1. Trzy skale czasu

ω̄ = 4,50 rad/s i Δω = 1,00 rad/s. Okres szybkiego czynnika wynosi 2π/4,50 ≈ 1,396 s. Pierwsze zero obwiedni A|cos(t/2)| występuje przy t* = π s ≈ 3,142 s. Wartość bezwzględna obwiedni powtarza się po Tₒ = 2π s ≈ 6,283 s, bo |cos(t/2 + π)| = |cos(t/2)|.

2. Stan w chwili pierwszego zaniku obwiedni

W t* mamy cos(4π) = 1 oraz cos(5π) = −1. Stąd x₁ = A(1 − 1)/2 = 0, x₂ = A(1 + 1)/2 = A. Oba sinusy są zerowe, więc v₁ = v₂ = 0. Ten szczególny dobór częstości sprawia, że zanik obwiedni pierwszej masy pokrywa się z maksymalnym wychyleniem drugiej i zerowymi prędkościami.

Nie jest to ogólna własność czasu π/Δω. Dla innych stosunków częstości szybka faza może być inna. Nawet tutaj środkowa sprężyna pozostaje odkształcona o A, więc nie wolno przypisać całkowitej energii wyłącznie zewnętrznej sprężynie drugiej masy.

3. Czy po 2π s powraca cały stan?

Tak, dla tych konkretnych częstości. W t = 2π s fazy wynoszą 8π i 10π, czyli odpowiednio cztery i pięć pełnych cykli. Oba cosinusy wracają do 1, oba sinusy do 0: x₁ = A, x₂ = 0, v₁ = v₂ = 0.

Nie wystarczy jednak sam powrót obwiedni. Gdy częstości nie są współmierne, nie istnieje dodatni skończony czas dokładnego jednoczesnego powrotu obu faz. Obwiednia może się powtarzać, podczas gdy szybkie drgania mają w każdej takiej chwili inną fazę.

Powiązana teoria

Od warunków początkowych do dudnień i bilansu energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny