Odległa orbita wokół tej samej masy

Rozwiązanie

Oddzielamy promień obiektu od promienia orbity

Oznaczmy masę centrum przez M, masę satelity przez m, promień centrum przez R, a odległość satelity od środka przez r. Są to dwie różne długości. W zadaniu zmieniono R, nie zadeklarowano natomiast zmiany M, r ani prędkości satelity przez dodatkowy impuls.

Używamy wskazanego w podpowiedzi zewnętrznego, sferycznie symetrycznego pola Newtona. Satelita pozostaje poza obiektem i daleko od obszaru silnie relatywistycznego. W tych warunkach F=\frac{GMm}{r^2}. Nie występuje tu R: liczymy odległość od środka, a nie od powierzchni.

Duży i mały krążek przedstawiają dwie alternatywne postacie centrum, nie dwa ciała dodane do tego samego układu. Orbita i wektory satelity nie zmieniają się od samej zmiany narysowanego promienia powierzchni.

Porównujemy siłę oraz przyspieszenie przed i po

Po skróceniu masy satelity: a=\frac Fm=\frac{GM}{r^2}. Jeżeli M i r są takie same, przyspieszenie ma tę samą wartość i ten sam zwrot ku środkowi. Nie pojawia się dodatkowy czynnik „zwartości”, który miałby bez ograniczenia wzmacniać odległe pole.

Dla kołowej orbity małego satelity porównanie jest szczególnie czytelne. Równanie m v^2/r=GMm/r^2 daje v=\sqrt{GM/r}. Ta wymagana szybkość również się nie zmienia. Dotychczasowa szybkość nie staje się nagle „za mała” tylko dlatego, że R zmalało. Dla orbity niekołowej nie trzeba używać tego szczególnego wzoru: ta sama siła i te same warunki początkowe dają tę samą trajektorię w rozpatrywanym modelu.

Co mogłoby zmienić wynik?

Gdyby podczas rzeczywistego zapadania uciekła materia, zmieniłaby się masa M. Gdyby satelita otrzymał impuls, zmieniłaby się jego prędkość. Niesferyczne, zmienne pole lub zbliżenie do silnie relatywistycznego obszaru również wykraczałyby poza ten prosty rachunek. Zadanie celowo wyłącza te komplikacje. Nie wolno najpierw ich wyłączyć, a potem użyć ich jako argumentu za automatycznym spadnięciem satelity.

Odpowiedź: nie, samo zmniejszenie rozmiaru centrum przy podanych założeniach nie wymaga wpadnięcia satelity. Duże efekty blisko zwartej pozostałości i niezmienione odległe przybliżenie pola nie są sprzecznymi stwierdzeniami: dotyczą innych odległości i zakresów modelu.

Powiązana teoria

Ewolucja gwiazd: od wodoru do pozostałości

Dalsza lektura

Materiał referencyjny