Szereg Fouriera: harmoniczne, faza i symetria przebiegu

Potrzebne wiadomości: Sinus i kosinus, okres i częstotliwość, całka oznaczona oraz jej interpretacja jako pola ze znakiem. Nie jest potrzebna wcześniejsza znajomość liczb zespolonych.

Od przebiegu do jego składowych

Niech x(t) będzie rzeczywistą wielkością fizyczną: wychyleniem w metrach, napięciem w woltach albo zmianą ciśnienia w paskalach. Zakładamy okresowość x(t + T) = x(t), dodatni okres T i skończoną całkę z x² w jednym okresie. Dla omawianych tu przebiegów odcinkami gładkich wystarcza zwykły rachunek całkowy. Częstotliwość podstawowa to f₀ = 1/T, a pulsacja ω₀ = 2π/T. Harmoniczna o numerze n ma częstotliwość nf₀. Nie jest to dowolna, niezależnie dobrana częstotliwość.

Przyjmujemy następującą konwencję, w której średnia jest zapisana osobno:

x(t)=\overline x+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right].

Wszystkie współczynniki x̄, aₙ i bₙ mają taką samą jednostkę jak x. Argumenty funkcji trygonometrycznych są bezwymiarowe. Nie wstawiamy do kosinusa samego czasu w sekundach, lecz iloczyn pulsacji i czasu. W innych podręcznikach stały składnik może być zapisany jako a₀/2; wtedy a₀ = 2x̄. To różnica oznaczeń, a nie wynik fizyczny.

Okres użyty do rozwinięcia nie zawsze jest najmniejszym okresem przebiegu. Jeżeli pozostała wyłącznie druga harmoniczna, funkcja powtarza się już po T/2. Wybierając f₀, zwykle poszukujemy najmniejszego dodatniego okresu całego sygnału, nie tylko jednego składnika.

Jak wyznaczyć współczynniki?

Całka z dowolnej harmonicznej po pełnym okresie jest zerowa: dodatnie i ujemne pola znoszą się. Całkując cały szereg, otrzymujemy więc średnią. Aby wyodrębnić aₙ, mnożymy x(t) przez cos(nω₀t) i całkujemy po tym samym okresie. Iloczyny różnych harmonicznych mają średnią zero, a średnia cos² wynosi 1/2. Analogicznie postępujemy z sinusem:

\overline x=\frac1T\int_0^T x(t)\,dt,

a_n=\frac2T\int_0^T x(t)\cos(n\omega_0t)\,dt,\qquad b_n=\frac2T\int_0^T x(t)\sin(n\omega_0t)\,dt.

Czynnik 2/T kompensuje właśnie średnią 1/2. Możemy całkować po dowolnym pełnym okresie, na przykład od −T/2 do T/2. Zmiana początku osi czasu zmienia jednak współczynniki aₙ i bₙ, bo zmienia fazy. Nie zmienia amplitudy danej harmonicznej.

Ujemny współczynnik nie jest ujemną amplitudą

Dwa składniki o tej samej częstotliwości łączymy w jedną sinusoidę. Użyjmy konsekwentnie zapisu kosinusowego z fazą φₙ:

a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)=A_n\cos(n\omega_0t+\varphi_n),

A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\qquad a_n=A_n\cos\varphi_n,\qquad b_n=-A_n\sin\varphi_n.

Amplituda Aₙ jest nieujemna. Fazę wybieramy z właściwej ćwiartki, na podstawie obu równań; sam arctan(bₙ/aₙ) gubi ćwiartkę i ma tu niewłaściwy znak. Gdy Aₙ = 0, faza tej nieobecnej składowej nie jest określona. Rysując widmo amplitudowe, podajemy Aₙ, lecz do odtworzenia przebiegu potrzebne są również fazy i wartość średnia.

Symetria oszczędza rachunek, jeśli odnosi się do wybranego zera czasu

Dla funkcji parzystej x(−t) = x(t) wszystkie bₙ są zerowe: iloczyn funkcji parzystej i nieparzystego sinusa ma całkę zero na przedziale symetrycznym. Dla funkcji nieparzystej x(−t) = −x(t) znikają średnia oraz wszystkie aₙ. Jeżeli dodatkowo x(t + T/2) = −x(t), znikają parzyste harmoniczne. Warunek ten spełnia symetryczny przebieg prostokątny zmieniający się pomiędzy +U i −U.

Nie każdy przebieg prostokątny ma wyłącznie nieparzyste harmoniczne. Dodatni impuls trwający jedną czwartą okresu ma niezerową średnią i zazwyczaj także harmoniczne parzyste. Sama nazwa kształtu nie zastępuje sprawdzenia symetrii. Przesunięcie zera czasu może zamienić zapis sinusowy na kosinusowy, lecz nie tworzy nowych częstotliwości.

Przykład: idealny przebieg prostokątny

Niech x = U dla 0 < t < T/2 i x = −U dla T/2 < t < T, z powtarzaniem co T. Średnia i wszystkie aₙ są równe zero. Dzielimy całkę definiującą bₙ na oba półokresy. Ponieważ całka z sin(nω₀t) to −cos(nω₀t)/(nω₀), dostajemy bₙ = 2U[1 − (−1)ⁿ]/(πn). Dla n parzystego wynik jest zerowy; dla nieparzystego bₙ = 4U/(πn).

x(t)=\frac{4U}{\pi}\left[\sin(\omega_0t)+\frac{\sin(3\omega_0t)}3+\frac{\sin(5\omega_0t)}5+\cdots\right].

Amplituda pierwszej harmonicznej 4U/π jest większa od U. Nie ma sprzeczności: pozostałe składniki w wielu chwilach odejmują się od pierwszego. Maksimum sumy nie jest sumą maksimów osiąganych w różnych chwilach.

Co tracimy, zatrzymując tylko kilka harmonicznych?

Skończona suma sinusoid jest ciągła, więc nie odtworzy idealnego skoku. Dla funkcji odcinkami gładkiej pełny szereg w miejscu skoku zbiega do średniej granic z lewej i prawej, tutaj do zera. Wartość przypisana pojedynczemu punktowi skoku nie zmienia całek ani współczynników. Nie świadczy to o pomiarze połowy napięcia w rzeczywistym przełączniku; mówimy o matematycznym modelu granicznym.

Dodawanie harmonicznych zwęża obszar oscylacji przy skoku, ale względne maksymalne przeregulowanie nie znika. To zjawisko Gibbsa. Jednocześnie błąd średniokwadratowy może maleć, co wyjaśnimy przez twierdzenie Parsevala. Trzeba zatem określić, czy interesuje nas błąd w każdej chwili, średnia moc, czy tylko kilka dominujących częstotliwości. Te kryteria odpowiadają na różne pytania.

Rzeczywisty czujnik ma skończone pasmo i nie rejestruje nieskończenie szybkich skoków. Rozkład Fouriera jest jednak nadal przydatny: pokazuje, które częstotliwości trzeba zmierzyć, aby odtworzyć interesujące szczegóły przebiegu. W dalszych lekcjach odróżnimy taki opis okresowego modelu od widma skończonej serii próbek.

Zadania do tego tematu

• Wychylenie, średnia i faza drugiej harmonicznej
• Trzy harmoniczne przebiegu prostokątnego
• Dlaczego impuls o wypełnieniu jednej czwartej ma parzyste harmoniczne?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny