Zmierz g wahadłem fizycznym: dlaczego wykreślamy T²h względem h²?

Potrzebne wiadomości: Okres wahadła fizycznego, funkcja liniowa, nachylenie wykresu oraz podstawy niepewności pomiaru.

Jedno ciało, wiele położeń osi

Potrzebujemy sztywnej bryły, której kształt i masa nie zmieniają się podczas serii. Wyznaczamy środek masy C, wybieramy kilka równoległych poziomych osi i mierzymy ich odległości h od C. Przy każdym zawieszeniu bryła waha się wokół położenia z C pod osią. Pomiar czasu wykonujemy przy małej amplitudzie, w tej samej płaszczyźnie i przy możliwie małych oporach. Zmiana kierunku osi lub dołożenie uchwytu o istotnej masie zmieniłoby badany model.

Wzór T_0^2=4\pi^2(h+k^2/h)/g zawiera dwa nieznane parametry: g i k² = I_C/m. Jeden pomiar T przy jednym h nie wystarczy do niezależnego wyznaczenia obu. Seria dla różnych h dostarcza dodatkowej informacji. Korzystniej zebrać kilka wyraźnie różnych odległości niż wielokrotnie odtwarzać prawie identyczną geometrię.

Wybór współrzędnych usuwa odwrotność h

Pomnóżmy obie strony równania przez h. Pojawia się prosta zależność dwóch wielkości obliczanych z pomiarów:

T_0^2h=\frac{4\pi^2}{g}h^2+\frac{4\pi^2k^2}{g}.

Definiujemy X = h² i Y = T²h. Wtedy Y = aX + b, gdzie:

a=\frac{4\pi^2}{g},\qquad b=\frac{4\pi^2k^2}{g},\qquad g=\frac{4\pi^2}{a},\qquad k^2=\frac ba.

X ma jednostkę m², Y ma m·s², nachylenie a ma s²/m, a wyraz wolny b ma m·s². Iloraz b/a ma m², zgodnie z jednostką k². Dodatni b nie jest automatycznie błędem zerowania przyrządu: model rozciągłej bryły właśnie go przewiduje. Wymuszenie przejścia prostej przez początek usunęłoby z analizy centralny moment bezwładności.

Przykład: od prostej do własności bryły

Niech dane ćwiczeniowe spełniają a = 4,02 s²/m i b = 0,1608 m·s². Dla h = 0,10; 0,20; 0,30; 0,40 m współrzędne X wynoszą 0,01; 0,04; 0,09; 0,16 m², a współrzędne Y odpowiednio 0,2010; 0,3216; 0,5226; 0,8040 m·s². Tych punktów nie uzyskaliśmy z pomiaru laboratoryjnego: zostały zbudowane, aby pokazać działanie przekształcenia.

g=\frac{4\pi^2}{4{,}02}\approx9{,}821\ \mathrm{m/s^2},\qquad k^2=\frac{0{,}1608}{4{,}02}=0{,}0400\ \mathrm{m^2}.

Stąd k = 0,200 m. Gdy masa bryły wynosi 0,750 kg, I_C = mk² = 0,0300 kg·m². Wartość g zależy od nachylenia, a nie od samego wyrazu wolnego. Masa nie jest potrzebna do wyznaczenia g ani k; staje się potrzebna dopiero przy przeliczeniu k² na moment bezwładności.

Jak zbierać czas, żeby wiedzieć, co oznacza T?

Mierzymy czas t_N obejmujący N pełnych okresów i obliczamy T = t_N/N. Początek i koniec wybieramy przy tym samym położeniu i tym samym zwrocie ruchu, na przykład przy przejściu przez środek w prawo. Kolejne przejścia przez pion mają przeciwne zwroty; odstęp między nimi to pół okresu.

Jeżeli standardowa niepewność całego odczytu czasu wynosi u(t_N), a N policzono bez pomyłki, to u(T) = u(t_N)/N. Dla 20 okresów i u(t₂₀) = 0,20 s otrzymujemy u(T) = 0,010 s. Nie dzielimy ponownie przez √20: liczba 20 oznacza tu okresy w jednym odcinku czasu, nie 20 niezależnych odczytów. Osobna seria powtórzonych odcinków czasu może służyć do oszacowania rozrzutu.

Dobra prosta nie usuwa niepewności h

Ta sama zmierzona odległość h występuje w X = h² i Y = T²h. Jej błąd zmienia zatem obie współrzędne tego samego punktu. Co więcej, błąd położenia wspólnego C wpływa na całą serię. Nie wolno traktować tych efektów jako niezależnego szumu wyłącznie w pionie.

Zwykła prosta dopasowana do punktów jest użytecznym ćwiczeniem i kontrolą kształtu zależności. Do rzetelnej niepewności g trzeba jednak uwzględnić niepewności obu współrzędnych, ich korelację oraz wspólne błędy odległości. Można też dopasowywać pierwotną zależność T(h) z modelem niepewności pomiarów. Zaokrąglanie T przed obliczeniem T² dodatkowo zniekształca dane; przechowuj cyfry robocze do końca rachunku.

Jeśli oszacowano już standardową niepewność nachylenia u(a) w odpowiednim modelu, dla małej względnej niepewności:

u(g)\approx\left|\frac{dg}{da}\right|u(a)=\frac{4\pi^2}{a^2}u(a),\qquad \frac{u(g)}g\approx\frac{u(a)}a.

Dla k² = b/a nie wystarczy bez zastanowienia dodać względnych niepewności a i b. Parametry dopasowane do tych samych danych zazwyczaj są skorelowane. Dodatkowe cyfry wyniku nie zastępują informacji o tej zależności.

Amplituda i model mogą przesunąć wszystkie punkty

Dla idealnego wahadła grawitacyjnego okres przy skończonym kącie jest większy niż T₀. Pierwsze przybliżenie poprawki brzmi T(\theta_0)\approx T_0(1+\theta_0^2/16), z θ₀ w radianach. Dotyczy także sztywnego wahadła fizycznego w jednorodnym polu, ponieważ po podzieleniu przez Iₒ jego równanie ma ten sam człon sin θ. Dalsze wyrazy są istotne, kiedy żądana dokładność staje się porównywalna z ich wkładem.

Większe T daje większe Y. Jeśli amplituda była taka sama w całej serii, punkty mogą nadal niemal idealnie układać się na prostej, ale nachylenie będzie za duże, a wyznaczone g za małe. Dłuższy pomiar stoperem zmniejsza względny wpływ reakcji człowieka; nie usuwa błędu modelu. Podobnie spadek amplitudy, tarcie osi, uginanie bryły lub ruch podpory wymagają sprawdzenia niezależnie od jakości dopasowania.

Warto powtórzyć część serii przy mniejszej amplitudzie i sprawdzić zmianę wyników. Rejestruj też odchylenia punktów od prostej, zamiast pokazywać jedynie współczynnik dopasowania. Porównaj tę metodę z parą różnych osi o jednakowym okresie.

Zadania do tego tematu

• Cztery odczyty stopera: wyznacz g i promień bezwładności
• Niepewność nachylenia a niepewność wyznaczonego g
• Czy pomiar dwudziestu okresów naprawia zbyt duże wychylenie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny