Poiseuille — zadanie: zwężenie promienia o dwadzieścia procent
W długiej rurce utrzymywano Q₀ = 5,0 ml/min przy spadku ciśnienia Δp₀ = 3,0 kPa. W nowej rurce promień jest mniejszy o 20%, a długość, ciecz i temperatura są takie same. W obu porównywanych stanach zakładamy ważność prawa Poiseuille’a i pomijamy straty w połączeniach.
a) Jaki przepływ i czas zebrania 50 ml otrzymamy przy zachowaniu Δp₀? b) Jaki spadek ciśnienia byłby potrzebny, aby zachować Q₀? c) Dlaczego nie można jednocześnie zadeklarować zachowania obu wielkości przy tej zmianie geometrii?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Promień po zmianie to 0,80a₀. Najpierw policz (0,80)⁴; spadek o 20% nie oznacza czterokrotnego spadku o 20%. W części b) odwróć ten czynnik.
Rozwiązanie
1. Ustalamy, co pozostaje stałe
Przy niezmienionych lepkości i długości prawo Poiseuille’a można zapisać jako Q = Ca⁴Δp, gdzie C jest stałym współczynnikiem. Pozwala to porównać stany bez znajomości bezwzględnego promienia:
\frac{Q}{Q_0}=\left(\frac{a}{a_0}\right)^4\frac{\Delta p}{\Delta p_0}.
2. Zachowana różnica ciśnień
Gdy Δp = Δp₀, iloraz przepływów wynosi 0,80⁴ = 0,4096. Nowa wartość to:
Q=5{,}0\cdot0{,}4096=2{,}048\ \mathrm{ml/min}.
Przepływ zmalał o 59,04%, a nie o 20% ani 80%. Przy utrzymanych warunkach zebranie 50 ml wymaga:
t=\frac{50}{2{,}048}\ \mathrm{min}\approx24{,}414\ \mathrm{min}.
Poprzednio ta objętość wymagała 10 min. Czas wzrósł o czynnik 1/0,4096 ≈ 2,4414; jest odwrotnie proporcjonalny do przepływu przy tej samej zbieranej objętości.
3. Zachowane natężenie wymaga większego napędu
Jeżeli Q = Q₀, iloraz spadków ciśnienia musi skompensować zmniejszenie a⁴:
\Delta p=\frac{\Delta p_0}{0{,}4096}=\frac{3{,}0}{0{,}4096}\ \mathrm{kPa}\approx7{,}324\ \mathrm{kPa}.
Wtedy czas zebrania 50 ml pozostanie równy 10 min. Jest to wymaganie dla źródła ciśnienia, a nie zapewnienie, że istniejący układ je spełni.
4. Jedno równanie wiąże trzy wielkości
Po zmianie promienia wzrasta opór hydrauliczny. Utrzymanie jednocześnie Q₀ i Δp₀ byłoby sprzeczne z przyjętym prawem dla tej samej cieczy i długości. Trzeba pozwolić zmienić się przepływowi, zwiększyć napęd albo zmienić inne parametry. Ponadto samo zachowanie laminarności zostało w zadaniu przyjęte: bez danych o gęstości, lepkości i średnicy nie można osobno policzyć liczby Reynoldsa.
Powiązana teoria
Przepływ Poiseuille’a: profil prędkości i czwarta potęga promienia
Dalsza lektura
Promień zmienia znacznie więcej niż pole
Najpierw przewiduj: Podwój promień przy tej samej różnicy ciśnień. Porównaj przepływ i sprawdź ponownie, czy założenia modelu są spełnione.
R = 1 mm, L = 1 m, η = 1 mPa·s, Δp = 100 Pa i ρ = 1000 kg/m³: Q ≈ 0,03927 ml/s, v średnia = 0,0125 m/s, Re = 25. Oszacowana długość wlotowa wynosi 0,0025 m.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
v(r)=\frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2),\quad Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\eta L}. Prędkość przy ściance jest zerowa, a średnia po przekroju równa połowie prędkości na osi. Przyjmujemy poziomą rurkę kołową, ciecz Newtonowską o stałej gęstości 1000 kg/m³ i lepkości, przepływ ustalony oraz w pełni rozwinięty.
Kontrola stosowalności korzysta z Re = ρvśr(2R)/η i oszacowania Lwlot ≈ 0,05 Re·2R. Przyjmujemy ostrożny warunek orientacyjny: Re < 2000 i Lwlot ≤ 0,1 L. Odcinek rozwijania profilu powinien zajmować niewielką część rurki, ponieważ powoduje dodatkowe straty ciśnienia. Ten próg nie oznacza błędu wyniku mniejszego niż 10% ani nie gwarantuje laminarności; zaburzenia i warunki wlotowe też mają znaczenie. Gdy próba nie przechodzi tej kontroli, ukrywamy profil jako niewiarygodną prognozę; Re jest wtedy tylko wartością wynikającą z testowanego modelu.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto