Poiseuille — zadanie: prędkość na osi i czas zebrania oleju

Rozwiązanie

1. Promień w metrach i średnia prędkość

Podane 1,5 mm jest promieniem, więc a = 0,0015 m i a² = 2,25·10⁻⁶ m². Nie dzielimy tej wartości ponownie przez dwa. Stosując wzór dla rozwiniętego profilu kołowego, dostajemy:

\bar u=\frac{3200\cdot2{,}25\cdot10^{-6}}{8\cdot0{,}050\cdot0{,}80}=0{,}0225\ \mathrm{m/s}.

Na osi prędkość wynosi u_max = 2ū = 0,0450 m/s. Warunki zadania dotyczą odcinka pomiarowego, więc L nie jest długością od wlotu do pierwszego króćca.

2. Sumaryczny przepływ przez przekrój

Mnożymy pole koła przez średnią prędkość:

Q=\pi(0{,}0015)^2\cdot0{,}0225\approx1{,}5904\cdot10^{-7}\ \mathrm{m^3/s}.

Ponieważ 1 m³ = 10⁶ ml, wynik to około 0,15904 ml/s. Minuta zawiera 60 sekund, zatem Q ≈ 9,5426 ml/min. Więcej cyfr pozostawiamy na potrzeby dalszego rachunku, a odpowiedź można zaokrąglić do 9,5 ml/min zgodnie z dokładnością danych.

3. Objętość podzielona przez natężenie

Przy stałym przepływie V = Qt, więc:

t=\frac{30\ \mathrm{ml}}{9{,}5426\ \mathrm{ml/min}}\approx3{,}144\ \mathrm{min}\approx188{,}6\ \mathrm s.

Czas około 3,1 min dotyczy zbierania przy utrzymanym Δp. Jeżeli poziom cieczy zasilającej opada lub lepkość zmienia się wskutek temperatury, Q nie musi być stałe i dzielenie przez jeden początkowy przepływ nie wystarczy.

4. Dlaczego prędkość osiowa zawyża wynik?

Iloczyn πa²u_max traktuje cały przekrój tak, jakby płynął z prędkością osi. Rzeczywista prędkość maleje aż do zera przy ścianie. Błędny przepływ byłby dwukrotnie większy, a wyliczony czas dwukrotnie krótszy: około 94,3 s. Kontrola profilu wykrywa błąd, którego samo sprawdzenie jednostki m³/s nie ujawnia.

Powiązana teoria

Przepływ Poiseuille’a: profil prędkości i czwarta potęga promienia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny