Dwa małe ciężarki kalibrują moment platformy
Okres samej platformy na drucie skrętnym wynosi 1,60 s. Po symetrycznym, sztywnym zamocowaniu dwóch małych ciężarków, każdy o masie 0,050 kg i odległości środka od osi 0,120 m, okres wzrósł do 2,00 s. Traktuj ciężarki jako punkty, a sztywność drutu jako niezmienioną. Oblicz dodany moment bezwładności, κ oraz moment I₀ samej platformy.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Dodany moment to suma dwóch mR². Odejmij równania dla T₁² i T₀², żeby usunąć I₀. Dopiero potem odtwórz moment platformy z pomiaru bez ciężarków.
Rozwiązanie
1. Znany przyrost bezwładności
Oba ciężarki obracają się wokół tej samej osi, każdy w odległości R = 0,120 m. Suma ich momentów wynosi:
\Delta I=2mR^2=2\cdot0{,}050\cdot0{,}120^2=0{,}001440\ \mathrm{kg\,m^2}.
Wzajemna odległość ciężarków 0,240 m nie jest promieniem ich ruchu. Wstawienie jej zamiast R dałoby czterokrotnie większy moment.
2. Odejmowanie usuwa platformę
T_1^2-T_0^2=\frac{4\pi^2\Delta I}{\kappa},\qquad 2{,}00^2-1{,}60^2=1{,}44\ \mathrm{s^2}.
Nie używamy (2,00 − 1,60)² = 0,16 s². To inna operacja. Prawidłowy wynik prowadzi do:
\kappa=\frac{4\pi^2\cdot0{,}001440}{1{,}44}\approx0{,}03948\ \mathrm{N\,m/rad}.
3. Moment bezwładności platformy
I_0=\frac{\kappa T_0^2}{4\pi^2}=\Delta I\frac{1{,}60^2}{2{,}00^2-1{,}60^2}=0{,}002560\ \mathrm{kg\,m^2}.
Moment obciążonej platformy wynosi I₀ + ΔI = 0,004000 kg·m². Kontrola bez κ: (T_1/T_0)^2=1{,}5625, a (I_0+\Delta I)/I_0=0{,}004000/0{,}002560=1{,}5625. Obie drogi dają ten sam przyrost.
Symetria pomaga zachować wspólną oś i ograniczyć kołysanie, ale nie zwalnia z zamocowania ciężarków. Ich własne momenty wokół środków masy pominięto zgodnie z modelem punktowym. Gdy rozmiary ciężarków są istotne, do każdego mR² trzeba dodać jego moment centralny; w przeciwnym razie kalibracja κ zostanie systematycznie zaniżona.
Odzyskane I₀ jest dodatnie, a okres rośnie po dodaniu mas. Oba wyniki są zgodne z założeniem stałej dodatniej sztywności. Gdyby zaobserwowano odwrotną kolejność okresów, najpierw należałoby sprawdzić przebieg doświadczenia i model, zamiast interpretować ujemne I₀ jako własność platformy.
Powiązana teoria
Wahadło skrętne: wyznacz moment bezwładności z różnicy kwadratów okresów
Dalsza lektura
Platforma z dodatkowym przedmiotem
Najpierw przewiduj: Podwój moment bezwładności całego układu. Sprawdź, czy okres podwaja się, czy rośnie inaczej. Porównuj kwadraty okresów.
I₀ = 0,01 kg·m², I = 0,01 kg·m², κ = 0,1 N·m/rad: okres pustej platformy T₀ ≈ 1,987 s, okres z przedmiotem T ≈ 2,810 s.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Moment sprężysty jest równy −κθ. Dla sztywnej platformy z przedmiotem T=2\pi\sqrt{\frac{I_0+I}{\kappa}},\qquad I=\frac{\kappa}{4\pi^2}(T^2-T_0^2). Wzór z różnicą kwadratów usuwa wkład platformy; iloraz samych okresów go nie usuwa.
Przedmiot obraca się razem z platformą wokół tej samej osi. Przyjmujemy liniowy moment sprężysty, amplitudę 10° i brak tłumienia. To odmienny model od wahadła poruszanego momentem siły ciężkości.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto