Czy pomiar dwudziestu okresów naprawia zbyt duże wychylenie?
Wahadło fizyczne ma okres granicy małej amplitudy T₀ = 1,600 s przy g = 9,81 m/s². Uczeń uruchomił je jednak z kąta θ₀ = 20° i bardzo dokładnie zmierzył czas 20 okresów. Oszacuj okres przy tej amplitudzie, korzystając z T\approx T_0(1+\theta_0^2/16), gdzie θ₀ jest w radianach. Jaką wartość g otrzyma, wstawiając ten czas do wzoru małych drgań z poprawną długością zastępczą? Wyznacz kierunek i przybliżony procentowy błąd. Wyjaśnij, czy zwiększenie liczby mierzonych okresów usuwa ten problem.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Najpierw zamień 20° na radiany. Gdy długość zastępcza jest znana, wyznaczone g jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu użytego okresu. Porównaj gucznia/g, aby nie obliczać ponownie tej długości.
Rozwiązanie
1. Wzór oczekuje radianów
\theta_0=20^\circ\frac{\pi}{180^\circ}=\frac\pi9\approx0{,}34907,\qquad \delta=\frac{\theta_0^2}{16}\approx0{,}007615.
W pierwszym przybliżeniu okres jest więc większy od T₀ o około 0,762%, a nie o 2500%. Ta druga liczba powstałaby z niedozwolonego wstawienia liczby 20 bez zamiany jednostki kąta.
T\approx1{,}600(1+0{,}007615)\approx1{,}6122\ \mathrm s.
2. Skutek dla wyznaczonego g
Dla tej samej poprawnej długości zastępczej ℓ prawdziwe g = 4π²ℓ/T₀², natomiast uczeń obliczy 4π²ℓ/T². Iloraz nie zależy od ℓ:
\frac{g_{\mathrm{ucznia}}}{g}=\left(\frac{T_0}{T}\right)^2\approx\frac1{(1+\delta)^2},\qquad g_{\mathrm{ucznia}}\approx\frac{9{,}81}{1{,}007615^2}\approx9{,}66\ \mathrm{m/s^2}.
Wynik jest zaniżony o około 1,51%. Znak zgadza się z fizyką: zbyt długi okres został błędnie zinterpretowany jako słabsza grawitacja. Mała względna zmiana okresu powoduje około dwa razy większą przeciwną zmianę g.
3. Precyzja czasu a poprawność modelu
Pomiar 20 okresów może ograniczyć względny wpływ reakcji człowieka, lecz wszystkie te okresy należą do ruchu o zbyt dużej amplitudzie. Trzeba zmniejszyć wychylenie lub zastosować odpowiednią poprawkę. Użyty wzór zawiera tylko pierwszy wyraz poprawki amplitudowej, dlatego podane 9,66 m/s² jest oszacowaniem, a nie dokładnym wynikiem dla równania nieliniowego.
W realnym układzie amplituda może maleć przez tłumienie. Wtedy mierzony średni okres opisuje również tę zmianę; nie wystarczy przyjąć, że każdy z 20 cykli miał dokładnie 20°.
Powiązana teoria
Zmierz g wahadłem fizycznym: dlaczego wykreślamy T²h względem h²?
Dalsza lektura
Od okresu do prostego wykresu
Najpierw przewiduj: Zapisz T i h dla trzech zawieszeń. Oblicz T²h i h²: dlaczego te punkty układają się na prostej? To przewidywania modelu, nie pomiary.
Pręt o długości 1 m, zawieszony na końcu: h = 0,5 m, I/m = 1/3 m². Przy g = 9,81 m/s² okres wynosi około 1,638 s.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Przy małych wychyleniach T=2\pi\sqrt{\frac{I_{\rm cm}/m+h^2}{gh}}. Dla pręta Icm/m = L²/12, dysku R²/2, a cienkiej obręczy R². Oś pozostaje w obrębie bryły. Suwak położenia osi podaje ułamek maksymalnego h: L/2 dla pręta oraz R dla koła. Nie jest bezpośrednio odległością w metrach.
Wykres pokazuje T(h). Minimum wypada przy h = √(Icm/m). Zbliżanie osi do środka masy osłabia moment siły przywracającej; dla h → 0 okres rośnie bez ograniczenia. Sam punkt h = 0 nie opisuje takiego wahadła i nie jest dostępny. Animacja używa amplitudy 10°, przybliżenia małych kątów i stałego g = 9,81 m/s². Pomija tarcie, podatność zawieszenia oraz opory powietrza.
Dodatkowo T²h = (4π²/g)h² + (4π²/g)(Icm/m). Podane pod wykresem wartości pozwalają zbudować prostą na papierze. Masa skraca się tylko wtedy, gdy porównujesz tę samą geometrię rozkładu masy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto