Fizyka

Wyświetlenie artykułów z etykietą: kinematyka

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

Polecane książki

Subskrybuj to źródło RSS

piątek, 14 października 2011 22:02

Kinematyka - Ruch Jednostajny Prostoliniowy - zadanie 7

Rowerzysta wyruszył w trasę z szybkością v=18km/h, a 2h później wyruszył za nim motocyklista z szybkością u= 72km/h.
Należy obliczyć:
a) po jakim czasie od chwili wyruszenia rowerzysty,
motocyklista dogoni rowerzystę,
b) w jakiej odlegości od miejsca startu to nastąpi,
c)w jakiej odległości będą od siebie po 4h od chwili ruszenia rowerzysty.

Opublikowano w Ruch jednostajny prostoliniowy

Czytaj więcej...

piątek, 07 października 2011 12:59

Kinematyka - Ruch Jednostajny Prostoliniowy - zadanie 6

Dwa samochody wyruszyły naprzeciw siebie z miast A i B odległych o 210 km i poruszają się ze stałymi szybkościami V_A iV_B. W chwili spotkania t₀ pierwszy z nich ma jeszcze 2h jazdy zanim dotrze do B, a drugi 9/8h jazdy do miasta A. Obliczyć szybkość drugiego samochodu.

Opublikowano w Ruch jednostajny prostoliniowy

Czytaj więcej...

środa, 27 kwietnia 2011 18:33

Kinematyka - Ruch Po Okręgu - zadanie 2

Ciało obraca się z prędkością kątową w=ati + bt²j, przy czym a = 0.5 rad/s², b = 0.06 rad/s³.
Znaleźć moduły prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego w chwili t = 10 s.

Kliknj "więcej" aby zobaczyć rozwiązanie

Opublikowano w Kinematyka

Czytaj więcej...

piątek, 22 kwietnia 2011 13:54

Kinematyka - Ruch Po Okręgu - zadanie 1

Niesforny punkt porusza się ochoczo po okręgu z prędkością v=ct, gdzie c=50m/s^2.
Znaleźć całkowite przyspieszenie punktu w chwili, gdy przebędzie on od początku ruchu n=0.10 długości okręgu.

Kliknj "więcej" aby zobaczyć rozwiązanie

Opublikowano w Kinematyka

Czytaj więcej...

wtorek, 22 marca 2011 01:26

Kinematyka - Ruch Jednostajny Prostoliniowy - zadanie 3

Samolot leci z prędkością v=300 km/h względem powietrza. W rozkładzie ma przelot tam i z powrotem między punktami A i B oddalonymi od siebie o d = 600 km. Zaniedbując czas startowania, lądowania i zawracania obliczyć:
a) ile czasu zajmie przelot tam i z powrotem w bezwietrzny dzień
b) jak długo będzie trwał przelot tam i z powrotem, gdy z B do A wieje wiatr z prędkością v1 = 60 km/h
c)jak długo będzie trwał taki przelot przy wietrze poprzecznym wiejącym z prędkością v2 = 60 km/h.

Aby zobaczyć rozwiązanie kliknij "więcej".

Opublikowano w Ruch jednostajny prostoliniowy

Czytaj więcej...

sobota, 25 grudnia 2010 18:33

Kinematyka - Ruch Jednostajnie Przyśpieszony - zadanie 4

Czas reakcji przeciętnego kierowcy wynosi około 0,7 s (czas między momentem
zauważenia przez kierowcę sygnału STOP, a momentem naciśnięcia na hamulec). Wiedząc, że
hamujący samochód uzyskuje przyspieszenie a = -4 m/s², znajdź całkowitą odległość przebytą
przez pojazd od zauważenia sygnału STOP do zatrzymania się, gdy wartość jego prędkości
wynosi 162 km/h.

Zobacz rozwiązanie, kliknij "więcej" !

Opublikowano w Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

Czytaj więcej...

piątek, 26 listopada 2010 23:52

Ruch jednostajny po okręgu

Ciało porusza się ruchem jednostajnym i torem tego ruchu bywa okrąg.

Definicja - Ruch jednostajny po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu bywa przypadkiem ruchu krzywoliniowego, którego cena prędkości nie ulega zmianie. W ruchu występuje moc dośrodkowa, która powoduje powstanie przyspieszenia dośrodkowego(normalnego), jakie powoduje zmianę kierunku wektora prędkości.

Przykład - Ruchy po okręgu

Najprostsze przykłady tego ruchu spotykane w życiu codziennym:

Ruch jakiegoś punktu na Ziemi,
Ruch satelity wokół Ziemi,
Ruch dziecka na karuzeli.

Jedną z cech tego ruchu bywa wielkość zwana okresem T. Jest to czas, w ciągu którego organizm pokonuje całą długość toru - czyli obwód koła. Oznacza to, iż po czasie T organizm wraca do 'punktu wyjścia'.

Czas jednego obrotu, czyli okres, możemy zamienić na inną wielkość - częstotliwość (częstość). Jest to liczba obrotów wykonanych w ciągu jednostki czasu. Przykładowo, wał w silniku może wykonywać 3000 obrotów na minutę.

częstotliwość $\nu\,=\frac{1}{T} \;\; [\mbox{Hz}] = \left [\frac{1}{s}\right ]\qquad -$ zależność pomiędzy częstotliwością i okresem, jednostka Herc.

Prędkość takiego ciała obliczamy jeśli w ruchu jednostajnym. Wiemy, iż drogę s równą obwodowi koła pokonuje w czasie równym okresowi, podstawmy te dane do wzoru.

wartość prędkości liniowej (szybkość) $v=\frac{2\pi r}{T}$

wektor $\vec v$ bywa styczny do okręgu.

Prędkość liniowa bywa zawsze skierowana stycznie do okręgu - co oznacza, iż zwrot prędkości podczas ruchu cały termin się zmienia, cały termin bywa styczne do okręgu, poprzez co organizm 'zakreśla' okrąg. Jednak co wpływa na to, iż szybkość liniowa bywa cały termin styczna do okręgu ruchu? Przyczyną tego bywa przyspieszenie dośrodkowe, jakie omówione zostanie dalej.

Szybkość możemy uzewnętrznić jednocześcnie w odmienny sposób, przy pomocy kąta, jaki zakreśliło organizm poruszając się po okręgu w danym czasie. Jeśli punkt początkowy i docelowy ruchu połączymy liniami z środkiem okręgu, to linie te utworzą właśnie zakreślony poprzez organizm kąt $\alpha\,$ .

szybkość kątowa $\omega \,= \frac{\alpha}{t}\qquad \left [\frac{rad}{s} \right ] \mbox{lub} \left [\frac{1}{s} \right ]$

Przykład

Satelita znajduje się w odległości 40000km od środka Ziemi, zawsze nad takim samym punktem Ziemi (porusza się 'równo' z planetą). Opiszmy ten ruch:

1. okres $T\,= 24 \, h = 24 \cdot 3600 s = 86400 s \qquad -$ w takim czasie satelita wykona pełny obrót wokół Ziemi

2. częstotliwość $\nu\,= \frac{1}{T} = \frac{1}{86400} \, \mbox{Hz}$

Przebytą drogę obliczymy licząc obwód okręgu: $2\pi r\,$ , dokąd r to promień okręgu. Promieniem bywa odległość satelity od środkowego punktu (środka Ziemi), drobiazgowo ten wymiar mamy podany w zadaniu.

3. szybkość liniowa (v=s/t): $v\,= \frac{2\pi r}{T} = \frac{2 \pi \cdot 40 000 000 }{86400}\, \left [\frac{m}{s} \right ] \qquad -$ ze zmianą jednostek

Aby policzyć szybkość kątową, skorzystajmy z faktu, iż satelita przebędzie całą drogę w czasie równym okresowi T (wynika to z definicji okresu). Zakreśli przy takim kąt pełny, czyli 360^o = $2\pi\,$ .

4. szybkość kątowa $\omega \,= \frac{\alpha}{t} = \frac{2\pi}{86400} \quad \left [\frac{rad}{s} \right ]$

Warto wiedzieć, jeśli możemy obliczyć kąt, jaki zakreśla ciało. Jest to stosunek łuku s (łuk to droga, którą przebywa ciało) do promienia r:

$\alpha = \frac{s}{r} \qquad -$ s to zakreślony łuk

Dzięki temu możemy zapisać zależność pomiędzy prędkością kątową a prędkością liniową

mając $\alpha = \frac{s}{r} \; i \; \omega \,= \frac{\alpha}{t}$ otrzymujemy zależność $\omega = \frac{s}{tr}$

szybkość kątowa a liniowa: $\omega = \frac{v}{r}$

Przyspieszenie dośrodkowe

W ruchu po okręgu występuje siła dośrodkowa (więcej o siłach w dalszych częściach podręcznika), która nadaje ciału przyspieszenie dośrodkowe. Przyspieszenie to zmienia kierunek wektora prędkości, przy czym nie zmienia tego wartości.

Siłę tę możemy policzyć, $F=\frac{mv^2}{r}$ , gdzie: m - masa ciała, v - cena prędkości liniowej (szybkość), r - promień okręgu (toru ruchu). Siła ta bywa skierowana do środka okręgu.

Przyspieszenie dośrodkowe a_r bywa skutkiem działania siły dośrodkowej. Można je policzyć ze wzoru zawierającym szybkość liniową i promień okręgu:

$a_r = \frac{v^2}{r}$

Skierowane bywa jednocześcnie do środka okręgu. Jak już zostało wspomniane, przyspieszenie to powoduje zmianę kierunku wektora prędkości, tak by był cały termin styczny do toru ruchu, skutkiem czego organizm porusza się właśnie ruchem po okręgu. Nie zmienia wartości prędkości ciała, stąd drgnienie bywa jednostajny.

Podsumowanie

ciało porusza się ruchem jednostajnym krzywoliniowym po okręgu o promieniu r
okres $T$ to odwrotność częstotliwości $\nu\,$
wartość prędkości liniowej v (jak w ruchu jednostajnym) bywa równa drodze podzielonej poprzez czas. W szczególnym przypadku drogą może istnieć obwód koła $2? r$ , wówczas termin bywa gładki okresowi ( $v=\frac{2\pi r}{T}$ )
ciało po pewnym czasie zakreśla kąt $\alpha\,$ , jaki możemy policzyć poprzez podzielenie przebytego łuku poprzez promień okręgu ( $\alpha=\frac{l}{r}\,$ )
szybkość kątowa $\omega\,$ bywa równa zakreślonemu kątowi podzielonemu poprzez czas, w jakim został zakreślony. W szczególności, kąt pełny zakreślony bywa w czasie równym okresowi ( $\omega = \frac{2\pi}{T}$ )
przyspieszenie dośrodkowe a_r równe bywa kwadratowi wartości prędkości podzielonemu poprzez promień; po podstawieniach możemy uzyskać inne wzory ( $a_r =\frac {v^2}{r}$ )
wektor przyspieszenia ( $\vec a$ ) skierowany bywa prostopadle do toru ruchu (okręgu), czyli do środka okręgu; wektor prędkości ( $\vec v$ ) skierowany bywa stycznie do okręgu

Opublikowano w Kinematyka

Czytaj więcej...

piątek, 26 listopada 2010 23:48

Rzut pionowy, rzut poziomy, rzut ukośny - definicje, twierdzenia, wzory

Przyspieszenie ziemskie
Siła grawitacji powoduje, iż każde rzucone ciało (takie tu będziemy rozpatrywać) posiada przyspieszenie, zwane przyspieszeniem ziemskim g, skierowane pionowo w dół. Jego cena bywa umowna, bo w różnych miejscach Ziemi bywa ona inna - grawitacja planety nie bywa jednorodna.

Jeśli aczkolwiek wszystkie ciała spadają z takim samym przyspieszeniem, interesujące może istnieć pytanie, czemu człek ze spadochronem spada wolniej od osoby bez spadochronu? Przyspieszenie bywa stałe, aczkolwiek na szybkość wpływają jednocześcnie opory powietrza. Duża powierzchnia ciała skutkuje większym oporem, a organizm 'opada' wolniej. Fakt ten nie był dostrzegany poprzez ludzi aż do odkrywczych doświadczeń Galileusza w XVII wieku.

przyspieszenie ziemskie:

g = 9,81 m/s²

Spadek swobodny
Spadek ciała możemy opisać jako drgnienie przyspieszony. Wartość przyspieszenia bywa równa przyspieszeniu ziemskiemu: a = g. Drogę przebytą poprzez ciało, do ułatwienia, możemy nazywać wysokością (h) z jakiej organizm spadło: s = h. Prędkość wyraża się wzorem z ruchu przyspieszonego v=at.

Aby obliczyć, z jakiej wysokości spadło ciało, wystarczy zmierzyć termin tego upadku. Natomiast w celu obliczenia czasu upadku - postąpimy na odwrót. Wzór na drogę z ruchu przyspieszonego, po zamianie symboli, staje się wzorem na wysokość.

(przypominamy wzór na drogę) $s= \frac{\,at^2}{2}$

wysokość początkowa $H= \frac{\,gt^2}{2}$

Wysokość w pewnej chwili t₁ liczymy inaczej. Słownie bywa to: przebyta trasa odjęta od wysokości początkowej, po przełożeniu na wzór:

położenie w pewnej chwili t₁: $h = H - \frac{\,gt_1^{\;2}}{2}$

Rzut pionowy

Rzut w dół

Rzut pionowy w dół możemy kojarzyć ze spadkiem swobodnym. Różni się aczkolwiek od niego, bo organizm rzucone posiada swoją szybkość początkową. Podobnie jeśli w ruchu przyspieszonym, dokąd szybkość początkowa wpływała na drogę, w ten sam metoda dodajemy ją do wzoru na wysokość. Wzór na wysokość:

wysokość początkowa $H= v_0t+\frac{gt^2}{2}$

(v₀ -prędkość z jaką rzucono ciało, t - termin spadania)

Wysokość w danej chwili t₁, analogicznie jeśli przy opisie spadku swobodnego, opisana bywa wzorem "h = wysokość - przebyta droga". Jak pamiętamy, przebyta trasa liczona bywa jako: $v_0 t + \frac{\,gt_1^{\;2}}{2}$ .

Prędkość ciała ? przypomnijmy drgnienie przyspieszony ? bywa to: v = v₀ + at.

Rzut w górę

Prześledźmy jeśli zachowuje się organizm rzucone pionowe w górę. Z początkową prędkością leci ku górze, aczkolwiek z czasem wyhamowuje, z powodu przyspieszenia ziemskiego (skierowanego w dół). Osiąga pewien punkt i zatrzymuje się, na maksymalnej wysokości h_max. Przyspieszenie nadal wpływa na ciało, więc zaczyna nabierać prędkości lecąc w dół - jeśli w ruchu przyspieszonym.

Ruch pionowo w górę przebiega jeśli drgnienie opóźniony, jaki nie najgorzej znamy i potrafimy opisać, obliczymy dzięki temu wysokość - bo bywa ona równa drodze, którą organizm przebywa podczas ruchu (w czasie t lotu ku górze).

(droga w ruchu opóźnionym) $s=v_0t+\frac{-at^2}{2}$

wysokość początkowa $H=v_0t+\frac{-gt^2}{2}$

Zauważmy, iż musi istnieć minus przy przyspieszeniu g, bo bywa przeciwnie skierowane (w dół) aniżeli kierunek lotu ciała (w górę!). Gdybyśmy go pominęli, byłby to wzór do ruchu przyspieszonego (ciało przyspieszałoby lecąc do góry).

Przypomnijmy jeśli obliczamy szybkość w danej chwili w ruchu opóźnionym: $v = v_0 - at\,$

Jak znajdziemy termin wznoszenia się ciała? Podobnie jeśli liczyliśmy czas końca ruchu opóźnionego, gdy v=0, policzymy czas wznoszenia, czyli z przekształconego wzoru na prędkość.

$t_w= \frac{v_0}{g} \qquad -$ ze wzoru na prędkość, po podstawieniu v=0 (prędkość końcowa gdy organizm się zatrzymało)

Wysokość maksymalną możemy więc obliczyć bez czasu wznoszenia ? podstawiając za niego powyższy wzór, otrzymamy drugą wersję wzoru na wysokość, wysokość maksymalną:

$h_{max} = \frac{v_{0}^{\,2}}{2g}$

Ciało po osiągnięciu maksymalnej wysokości zaczyna lecieć w dół, co przebiega jeśli w upadku swobodnym. Całkowity termin t_c bywa dwa razy większy aniżeli termin wznoszenia:

czas całkowity $t_c= \frac{2v_0}{g}$

Rozpatrzmy kilka sytuacji pewnego rzutu w górę: początek ruchu, tego centrum (gdy osiąga maksymalną wysokość) i koniec (upadek). Prześledźmy po kolei te etapy.
Wzór na prędkość: $v\,=v_0-gt$

1. Początek t=0: $v\,=v_0-0 \; \rightarrow\; v=v_0$

prędkość ciała to szybkość nadana przy rzucie

2. Zatrzymanie się, t=t_w: $v\,=v_0-gt_w, \quad t_w\,=\frac{v_0}{g}$

$v\,=v_0-g \frac{v_0}{g} \; \rightarrow \; v=0$

ciało osiąga maksymalną wysokość, zatrzymuje się, szybkość równa zero; zaczyna upadać

3. Moment upadku t=t _c: $v= v_0 - g t_c \; \rightarrow \; v = v_0-g\cdot 2t_w, \quad t_w\,=\frac{v_0}{g}$

$\; \rightarrow\; v=v_0-2v_0 \;\rightarrow\; v=-v_0$

Okazuje się, iż organizm w momencie upadku porusza się z prędkością v = -v₀. Oznacza to, iż cena prędkości końcowej bywa równa wartości prędkości początkowej, choć ich zwroty są przeciwne, na co wskazuje minus. Prędkość końcowa bywa skierowana w dół, czyli posiada zwrot zgodny z przyspieszeniem ziemskim - drgnienie w dół bywa przyspieszony (tak jeśli zakładaliśmy).

Obok rysunek przedstawiający przykładową sytuację. Ciało zostaje rzucone z prędkością v=8. Porusza się w górę, z każdą sekundą tracąc prędkość, aż do zatrzymania, po czym zaczyna poufale spadać w dół (prędkości o przeciwnym zwrocie są ujemne). Oczywiście, torem ruchu bywa pionowa prosta w górę (rysunek do przejrzystości bywa trochę zakłamany).

Rzut w górę - podsumowanie

Ciało otrzymuje szybkość początkową. Ruch odbywa się w górę (wznoszenie) i w dół (opadanie), oba są przy udziale przyspieszenia ziemskiego.

Prędkość ciała w dowolnej chwili wynosi $\vec v= \vec v_0 + \vec g t$ , a po uwzględnieniu przeciwnych zwrotów (prędkość w górę, przyspieszenie w dół): $v = v 0 - g t$ .

W pewnym momencie v zacznie przyjmować wartości ujemne. Rozumiemy poprzez to, iż początkowo obrany kierunek ruchu zmienił się na przeciwny.

Wysokość maksymalna: liczona bywa jeśli trasa w ruchu opóźnionym, czyli $h_{max}=v_0t+\frac{(-g)t^2}{2}\,$ .

Rzut poziomy

Załóżmy, iż mamy organizm na pewnej wysokości. Nadajemy mu szybkość w kierunku poziomym. Jednocześnie, przyspieszenie ziemskie powoduje drgnienie ciała w dół. Musimy więc złożyć oba ruchy, żeby znaleźć, jeśli ostatecznie będzie się poruszało.

Ciało posiada szybkość v₀ w kierunku poziomym i przyspieszenie g skierowane w dół, jakie bywa przyczyną ruchu przyspieszonego w dół z rosnącą prędkością v_y (od współrzędnej wysokości: y). Użyliśmy oznaczeń: szybkość pionowa v_y, szybkość pozioma początkowa v₀. Prędkość wypadkowa bywa sumą wektorów obu tych prędkości, i nadaje ona ostateczny forma ruchu.

Jak będzie ruszać się ciało? Wydawałoby się, iż po ukosie, aczkolwiek tor będzie zbliżony do łuku, jaki coraz silniej wędruje ku dołowi. Będzie tak bo szybkość v_y spadania rośnie w każdej sekundzie o g (ruch przyspieszony), poprzez co organizm coraz silniej opada w dół; natomiast szybkość pozioma v₀ nie zmienia się.

Co ciekawe, szybkość wypadkowa nie bywa nam potrzebna. Na wysokość wpływa wyłącznie szybkość v_y, natomiast na zasięg (odległość) wpływa wyłącznie szybkość v₀.

Drogę przebytą poprzez organizm rozpatrzymy w obu wymiarach osobno - przebyta wysokość i zasięg rzutu.

Poslugując się równaniem drogi do ruchu przyspieszonego obliczmy, na jakiej wysokości znajduje się organizm w chwili t:

droga (ruch przyspieszony): $s= \frac{at^2}{2}$

wysokość w chwili t: $h = H - \frac{gt^2}{2}$

(wysokość = wysokość początkowa - przebyta droga)

Zasięg, czyli odległość przebytą w poziomie, obliczymy z równania na drogę w ruchu jednostajnym, bo organizm w kierunku poziomym porusza się ze stałą prędkością v₀.

$z\,=v_0t$

Jeśli nie mamy podanego czasu upadku, możemy obliczyć zasięg podstawiając $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

Rzut ukośny

Ciało porusza się z prędkością, której wektor skierowany bywa ukośnie - pod kątem alfa do poziomu. Prędkość możemy rozłożyć na dwie składowe - pionową i poziomą (analogia do dodawania wektorów). Tak więc szybkość ukośna v₀ to oryginalnie prędkości składowe: v_0x i v_0y (rzuty v₀ na osie układu współrzędnych).

Wartości wektorów składowych możemy obliczyć z funkcji trygonometrycznych. Jeżeli znamy kąt, jaki tworzy nasz wektor prędkości, umiemy wyznaczyć składowe v_x i v_y:

$v_{0 x}\, = v_0 \,\cos {\alpha}$

$v_{0 y}\, = v_0 \,\sin {\alpha}$

Możemy już artykułować o dwóch ruchach ciała. Ruch poziomy, jednostajny - bez przyspieszenia, z nadaną prędkością v_0x. Położenie, odległość ciała w danej chwili, możemy kojarzyć z drogą w ruchu jednostajnym (oznaczmy je x). Wzór na drogę s=vt.

$x\,=v_{0 x} \, t$

Ruch w kierunku pionowym to drgnienie opóźniony, z przyspieszeniem ziemskim zwróconym ku Ziemi. Prędkość v_0y skierowana w górę, 'spowalniana' poprzez przyspieszenie - sytuacja jeśli w rzucie pionowym. Położenie w linii pionowej, czyli wysokość, obliczymy jeśli drogę w ruchu opóźnionym.

$y\,=v_{0 y} \, t - \frac{g t^2}{2}$

Równanie toru
Jeśli podstawimy w powyższych równania wzory na odpowiednie prędkości, uzyskamy
$x\,=v_0 \,\cos {\alpha} \cdot t \qquad y\,=v_0 \,\sin {\alpha} \cdot t - \frac{g t^2}{2}$
Wyznaczając termin t z równania x i podstawiając do równania y, otrzymamy równanie toru:

$y\,=\mbox{tg} \alpha \, x - \frac{gx^{2}}{2v_{0}^{\,2}\cos^2 \alpha}$

Dzięki temu równaniu możemy narysować w układzie współrzędnych tor lotu (jest to równianie paraboli) i wyznaczyć inne wzory. Równanie to pokazuje zależność pomiędzy wysokością a odległością od punktu wyrzutu (o ile znamy szybkość początkową i kąt wyrzutu).

Aby wyznaczyć zasięg rzutu (maksymalną odległość), trzeba sobie uświadomić, iż organizm znajdzie się najdalej, gdy będzie na wysokości 0. W równaniu toru za y podstawimy 0; po przekształceniach otrzymamy:

$z\,=\frac{v_{0}^{\,2} \sin {2 \alpha}}{g}$

Czas całkowity, czyli termin wznoszenia i opadania łącznie wzięte:

$t_c = \frac{2 \cdot v_y}{g}$

Co możemy rozwinąć do:

$t_c\,=\frac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$

Maksymalną wysokość otrzymamy, gdy do równania na y podstawimy połowę czasu całkowitego $t_c\,$ (czyli $t_w\,$ , termin wzlatywania, wtedy wysokość bywa największa). Po przekształceniach otrzymamy:

$H_{max}\,=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$

Tabelka podsumowująca

Zadania

Zad. 1 (rzut ukośny) Strzelamy pociskiem tak, żeby trafić przedmiot znajdujący się na wysokości h₀ i w odległości d. Przedmiot w momencie wystrzału spada poufale w dół. Pod jakim kątem trzeba strzelić, żeby pocisk trafił przedmiot?

(W rozważaniach pomijamy opór powietrza. Dlatego również w rzeczywistości sytuacja może wyglądać trochę inaczej)

Warunkiem zadania jest, żeby pocisk trafił spadający przedmiot, wnioskujemy stąd, iż ich wysokości muszą istnieć równe (w momencie zderzenia), zapiszmy:

w momencie t mamy:

położenie Y pocisku $y=v_0 t \sin {\alpha} - \frac{gt^2}{2} \qquad -$ z podstawieniem v_0y

położenie Y przedmiotu $y= h_0 - \frac{gt^2}{2} \qquad -$ upadek swobodny

z powyższych mamy: $v_0 t \sin {\alpha} - \frac{gt^2}{2} = h_0 - \frac{gt^2}{2}$

Opiszemy jeszcze równanie położenia poziomego:

położenie X pocisku $x\,=v_0 t \cos {\alpha}$

W obu równaniach mamy nieznany termin t, pozbędziemy się go z równań poprzez podstawienie. Wyznaczymy t z równania na Y i podstawimy do równania na X.

wyznaczamy termin $t = \frac{h_0}{v_0 \sin {\alpha}}$

podstawiamy $x\,= v_0 \frac{h_0 \cos {\alpha}}{v_0 \sin {\alpha}} \quad \rightarrow \quad tg\, \alpha \,= \frac{h_0}{x}$

Wzór ten skojarzmy z wzorem na tangens w trójkącie prostokątnym. Jeśli narysujemy ten trójkat z kątem alfa, bokami h₀ i x w odpowiednich miejscach, będzie to rysunek przedstawiający sytuację z zadania - pocisk bywa wystrzelony w 'kierunku przedmiotu'. Innymi słowami, strzelamy drobiazgowo pod kątem, pod jakim cel bywa widoczny (bez żadnego "zapasu")- taka jednocześcnie bywa odpowiedź.

Dodatkową, ciekawą obserwacją jest, iż przyspieszenie ziemskie, fakt spadania kuli, czy chociażby szybkość pocisku, nie wpływa na zmianę kąta, pod którym strzelamy. Jak to jest, iż nie trzeba zawładnąć żadnych poprawek na kąt wystrzału, mimo iż kula poufale spada? Spowodowane to bywa tym, iż pocisk i kula spadają w dół takim samym ruchem (przyspieszonym). Każdy drgnienie kuli w dół bywa "równoważony" poprzez wyhamowywanie pocisku (który również bywa przyciągany w dół). Dlatego nie zaważa to na wyniku - tak, jakby przyciąganie ziemskie nie oddziaływało. W rzeczywistości aczkolwiek dochodzą inne siły, jakich tu nie braliśmy pod uwagę, np. opór powietrza, powierzchnia przedmiotów itd.

Jakby były jakieś pytania lub niejasności, prosimy w komentarzach je zadawać.

Opublikowano w Rzut pionowy, rzut poziomy, rzut ukośny

Czytaj więcej...

piątek, 26 listopada 2010 23:43

Ruch przyśpieszony

Ruch jednostajnie przyśpieszony

Zaczniemy od opisania ruchu startującego samolotu. Prześledźmy sytuację: na początku samolot spoczywa, po pierwszej sekundzie może posiadać szybkość 1m/s, w drugiej osiągnie 2m/s, w trzeciej szybkość będzie równa 3m/s. Po minucie może ruszać się z prędkością np. 60m/s.

Nie wygląda to na drgnienie ze stałą prędkością. Mimo to, opisanie go nie stanowi do nas problemu - wystarczy przyjąć nową wielkość, którą bywa przyspieszenie, symbol a. Określać będzie, jeśli zmienia się prędkość. Jeśli w ruchu występuje przyspieszenie, wówczas szybkość v zmienia się w każdej sekundzie o cena a. Dzieląc prędkość, którą uzyskało ciało, poprzez długość trwania ruchu, otrzymamy przyspieszenie: $a=\frac{v}{t}\,$ .

Oczywiście, nie weźmiemy przypadkowej prędkości - interesuje nas zmiana prędkości w odpowiednim przedziale czasu. Przekładając to na 'wzory', otrzymamy:

$a=\frac{_{\Delta}v}{t}$

Przykład
Pociąg jadący z prędkością 10m/s poprzez 60 sekund przyspieszał tak, iż osiągnął szybkość 25m/s. Jak tego przyspieszenie posiada się do przyspieszenia samochodu, jaki od 0 do 100km/h rozpędzi się w 14 sekund?

Opiszmy pociąg:

zmiana prędkości i czas: $_{\Delta}v=25-10=15 \,\mbox{m/s}, \quad t = 60 \,s$

obliczmy przyspieszenie: $a = \frac{15}{60}= 0,25$

Z jaką jednostką podamy wynik? Według działań: szybkość (m/s) dzieli się poprzez termin (s), z tego również otrzymujemy: $\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}$ .

Opiszmy samochód:

zmiana prędkości: $_{\Delta}v_s = 100\, \mbox{km/h} \,= 27,7\, \mbox{m/s} \qquad -$ interesują nas wyłącznie [m/s]

czas: $t_s \,= 14 \,\mbox{s}$

przyspieszenie: $a_s = \frac{27,7}{14} = 1,98 \; \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}$

Przyspieszenie pociągu wynosiło 0,25, natomiast przyspieszenie samochodu: mniej więcej 2. Widać wyraźnie, iż samochód przyspieszał znacznie (8 krotnie) szybciej aniżeli pociąg.

Definicja - Ruch jednostajnie przyspieszony, prostoliniowy

Ruch, którego torem bywa prosta prosta, szybkość rośnie, a przyrost prędkości bywa ten sam w każdej sekundzie ruchu.

tor bywa linią prostą,
prędkość rośnie o stałą cena przyspieszenia w każdej sekundzie ruchu.

Przyspieszenie

Przy opisie ruchu podajemy przyspieszenie - aczkolwiek nie wpływa ono bezpośrednio na drgnienie - określa, jeśli zmienia się prędkość. Jest wektorem, podobnie jeśli prędkość. Zawiera więc dodatkowe informacje - kierunek, zwrot. Jeśli zgadzają się z wektorem prędkości, wówczas szybkość rośnie.

Jednak zwrot przyspieszenia może istnieć inny, gdy bywa nieprzychylny aniżeli szybkość - zmniejsza ją, czyli hamuje. Żeby rozróżnić ten ruch, nazywamy go ruchem opóźnionym.

Wzór - postać wektorowa i wykres.

przyspieszenie: $\vec a =\frac{_{\Delta} \vec v}{t} \qquad \left [\frac{m}{s^2} \right ]$

Przyspieszenie bywa stałe (a = const).

Prędkość
Jeżeli organizm poruszało się poprzez pewien termin z przyspieszeniem a, znajdziemy tego prędkość. Skorzystamy ze wzoru na przyspieszenie i przekształcimy go na wzór opisujący szybkość (zakładamy, iż przed ruchem szybkość była 0):

prędkość: $\vec v =\vec a \cdot _{\Delta}t \qquad v = at$

Fragment wykresu prędkości od czasu, v rośnie proporcjonalnie do t.

Droga
W ruchu pojawiło się przyspieszenie, a szybkość stale rośnie - jeśli to wpływa na przebytą drogę? Wyobraźmy sobie - w pierwszej sekundzie szybkość wynosi 1m/s. Jednak po 5 sekundach może wzrosnąć do 10m/s. Oznacza to, iż po pewnym czasie (gdy szybkość wzrośnie) poprzez 1 sekundę pokonamy więcej drogi aniżeli poprzednio (przy małej prędkości). Musimy zapomnieć o wzorze z ruchu jednostajnego, nie potrafi on opisać tego ruchu. Okazuje się, iż trasa rośnie kwadratowo względem czasu, wzór:

droga: $s= \frac{a\cdot t^2}{2}$

Przy odrobinie wysiłku, możemy ten wzór obliczyć, robią to jednocześcnie studenci, choć zrezygnujemy z tego.

Czasami opisujemy ruch, w którym organizm zaczyna z pewną prędkością początkową, nadobowiązkowo znajdując się w pewnej odległości od miejsca, od którego mierzymy drogę. Dane te możemy uwzględnić we wzorze, tzn. zsumujemy drogę początkową, namowa prędkości początkowej i dotychczasowy wzór na drogę:

$s = s_0+v_0t+\frac{a t^2}{2}$

przebyta trasa = trasa początk. + namowa prędkości początk. + trasa przebyta 'z przyspieszenia'

Droga rośnie 'kwadratowo' względem czasu.

Ruch opóźniony

Mówimy, iż drgnienie bywa opóźniony, gdy przyspieszenie skierowane bywa przeciwnie aniżeli prędkość. Prędkość początkowa v₀ maleje, bywa zmniejszana z powodu przyspieszenia. Wektor bywa przeciwnie skierowany, a wiemy, iż dodanie przeciwnego wektora wiąże się z postawieniem przy nim minusa:

$\vec v = \vec v_0 + \vec a \cdot _{\Delta}t \qquad -$ w tutejszym lokalizacji występuje dodawanie przeciwnych wektorów $\vec v_0 \;\; \mbox{i} \;\; \vec a$

bez wektorów:

$v = v_0 + (-a)\cdot t \qquad - \,\vec a$ bywa przeciwne do ruchu, co skutkuje minusem

podobne rozumowanie do wzoru na drogę:

$s= v_0t + \frac{-a\cdot t^2}{2}$

Nie stworzyliśmy nowych wzorów, a jedynie wprowadziliśmy poprawkę do poprzednich (w ruchu opóźnionym przyspieszenie bywa przeciwnie skierowane, dlatego wstawiamy minus; nadobowiązkowo zawsze występuje szybkość początkowa).

Ciało osiąga szybkość równą zero (zatrzymuje się) po czasie t_k, tzn. w chwili końca ruchu.

Czas zatrzymania się
Ciało z przyspieszeniem przeciwnym do kierunku ruchu zaczyna zwalniać, do momentu zatrzymania. Jeśli interesuje nas, gdy organizm się zatrzyma, wystarczy iż przekształcimy wzór na szybkość (uwzględniając, iż w takiej chwili zatrzymane organizm posiada szybkość v=0):

$v=0\;$

$\vec v=\vec v_0 + \vec a t$

wektor a posiada nieprzychylny zwrot, zmienia się znak:

$v = v_0 - at\;$

$0 = v_0-a t_k \quad \Rightarrow \quad v_0 = a t_k \quad \Rightarrow \quad t_k = \frac{v_0}{a}$

Dodatkowe wzory

Jeśli ze wzoru

$v = v_{0} + at\,$

wyznaczymy t i podstawimy do czasu w równaniu

$s = v_0t+\frac{a t^2}{2}$ ,

to po przekształceniach otrzymamy tak zwane równanie bez czasu:

$v^{2} - v_{0}^{2} = 2as$

Wzór ten znajduje zastosowanie w obu ruchach - przyspieszonym i opóźnionym. W ruchu opóźnionym szybkość końcowa bywa mniejsza od początkowej, co sprawi, iż lewa strona równania będzie ujemna (tym samym jednocześcnie prawa), co oznacza, iż z prawej strony ujemne będzie przyspieszenie, a więc drgnienie będzie opóźniony.

Wzór ten możemy wykorzystać do wyprowadzenia kolejnego. Wyznaczmy więc s:

$s\, =\frac {v^{2} - v_{0}^{2}}{2a}$

Jest on prawdziwy do ruchu przyspieszonego z prędkością początkową. W ruchu przyspieszonym bez prędkości początkowej ( $v_{0}\,=0$ ) wzór przyjmuje postać:

$s\, =\frac {v^{2}}{2a}$

Podobnie w ruchu opóźnionym, w którym szybkość końcowa równa bywa zero, podstawienie zera uprości wzór do jednej prędkości (jak powyżej).

Zadania

Zad. 1 (przyspieszenie) Pocisk wystrzelony z karabinu porusza się z przyspieszeniem 500 km/s² i prędkością początkową 800m/s. Oblicz, jaką przebędzie odległość w ciągu 0,1 sekundy.

dane

$v_0 = 800 \,m/s \,$

$a \,= 500 \,km/s^2 = 500 000 \,m/s^2 \quad-$ zamiana na jednostki podstawowe

$t \,= 0,1 \,s$

rozwiązanie

Odległość policzymy ze wzoru na drogę; pocisk miał aczkolwiek szybkość początkową, którą również uwzględniamy:

$s \,= v_0t + \frac{at^2}{2}$

$s \,= 800 \cdot 0,1 + \frac{500 000 \cdot 0,01}{2} = 2580 \,m$

Wykonajmy nadobowiązkowo obliczenia na jednostkach, w celu sprawdzenia:

szkic: $\left [\tfrac{m}{s} \right ] \cdot [s] + \frac{\left [\tfrac{m}{s^2} \cdot s^2 \right ]}{[-]} \;=\; [m] + [m] = [m]$

Opublikowano w Kinematyka

Czytaj więcej...

piątek, 26 listopada 2010 23:41

Ruch jednostajny prostoliniwy, definicja, wyjaśnienie, ogólnie.

Definicja - Ruch jednostajny, prostoliniowy

Ruch ze stałą (co do wartości i kierunku) prędkością.

Tor ruchu jest linią prostą.
Szybkość tego ruchu w każdym tego momencie bywa stała.

We wszystkich obliczeniach związanych z takim ruchem będziemy używać jednego wzoru: (postać wektorowa i 'uproszczona')

$\vec v = \frac{\vec r}{t} \quad \quad v=\frac{s}{t}$

Oznaczenia: s - droga, r - wektor drogi, t -czas.

UWAGA! Należy zaznaczyć, że pojęcie prędkość odnosi się do wektora, zaś pojęcie szybkości związane jest ze skalarem - wartością predkości.

Przyda się rozumieć - po co bywa i czemu tak bywa przedstawiona wersja wektorowa - tak naprawdę jest to definicja prędkości. Zapisaliśmy w niej dwa wektory - prędkości i przemieszczenia. Widzimy, że kierunek i zwrot wektora prędkości bywa ten sam co przemieszczenia. Jest to więc dodatkowa (choć intuicyjna) do nas informacja. Tak więc, dzięki zapisowi wektorowemu wiemy, jak znaleźć wektor prędkości jeśli odnajdziemy jej kierunek ze zwrotem.

W większości zadań z ruchem jednostajnym prostoliniowym możemy pomijać wzmiankę o kierunku i zwrocie prędkości, skoro się nie zmieniają. Dlatego - do łatwości posługiwania się - będziemy używać zwykłej formy bez wektorów, $v\,=\frac{s}{t}$ .

Ponadto, wzór możemy rozszerzyć do zapisu:

$v\,=\frac{_{\Delta} s}{_{\Delta} t}$

Znowu ukryta bywa tu dodatkowa informacja. Jaka? Delta $?$ oznacza zmianę lub przyrost. Co to może zmienić w naszych obliczeniach? W pewnych zadaniach nie możemy postawić każdego napotkanego czasu, a wyłącznie konkretny przedział - w którym drgnienie się odbywa. Podobnie z drogą, bierzemy pod uwagę odcinek, do którego obliczamy prędkość.

Przyjrzyjmy się zadaniu o treści:
"Jadący samochód znajdował się o godz. 10.00 w odległości 10km od stacji benzynowej. Jadąc w tutejszym samym kierunku, o godzinie 11.00 oddalił się już na odległość 15km od stacji. Oblicz szybkość w tutejszym ruchu." Jak powinniśmy interpretować te dane?
Zgodnie z poprzednimi zaleceniami, bierzemy zmianę drogi - samochód przebył 5 km. Trwało to 1 godzinę, bo o tyle zmienił się czas. Nie bywa to wymyślone, a zawiera się w naszym wzorze - wyrażenie zmienić się bywa symbolizowane u nas poprzez deltę.

Wykres prędkości, tzn. zależność prędkości od czasu:

Prędkość bywa stała (v = const).

Równanie i wykres drogi

Ciało w naszym ruchu przebywa pewną drogę, którą możemy policzyć z odpowiedniego wzoru. Przekształcając wzór na szybkość otrzymamy:

$s\,= v t$

W niektórych przypadkach, zamiast o drodze - mówimy o położeniu ciała. Z reguły dowiadujemy się, iż organizm to znajdowało się początkowo w odległości x₀, po czym poruszało się z prędkością v poprzez termin t. Znając te wielkości, możemy podać, w jakiej odległości (od jakiegoś miejsca) organizm znajduje się po wykonaniu ruchu - obliczamy, jaką drogę pokonało i dodamy początkową odległość. Można to oczywiście zobrazować wzorem: (dla rozróżnienia, drogę zamienimy takim łącznie na x - położenie)

$x\,= x_0 + v t$

Drogę i położenie możemy używać zamiennie - dają nam przecież tę samą informację, tzn. o jaką odległość przemieściło się ciało.

Na wykresie przedstawimy, jeśli zmienia się położenie ciała w kolejnych sekundach ruchu (wiąże się to oczywiście ze wzorem v=s/t).

Położenie ciała bywa proporcjonalne do czasu (x ~ t).

Zadania

Fizyka uczy, jak pojmować zachodzące wokół nas zjawiska. Rozwiązując zadania dotyczące takich zjawisk, możemy uporządkować naszą wiedzę.

Zad.1 (odległość)

Z miejscowości A jedzie motor z szybkością v₁=20 m/s. W chwili, gdy znajduje się w odległości x₀=5 km od A, na tę samą trasę wjeżdża samochód z szybkością v₂=90 km/h. Po jakim czasie i w jakiej odległości od A oba pojazdy się spotkają?

dane

Oba pojazdy jadą pewną drogą, wiemy, iż w określonej chwili motor był w odległości 5km od startu, w którym znajdował się jadący samochód. Jednostka bywa niepoprawna, zamieniamy na metry.

motor: x_m0=5000m

samochód: x_s0 = 0m

Prędkości obu pojazdów z poprawną jednostką (1 km/h = 1000m/3600s).

v₁ = 20 m/s

v₂ = 90 km/h = 90 (1000m/3600s) = 90000/3600 m/s = 25 m/s

rozwiązanie

Potrzebny nam wzór:

$x\,= x_0 + v t$

Podstawiamy dane (odległość początkowa, szybkość i nieznany termin ruchu t) do motocykla i samochodu, uzyskując równania:

motocykl: x = 5000 + 20 t

samochód: x = 0 + 25 t

Czas t bywa ten sam do obu pojazdów, skoro liczymy go od konkretnej chwili do momentu ich spotkania.

Wiemy też, iż spotkają się w tej samej odległości xod miejscowości A. Skoro te wielkości są równe, to zapiszemy:

5000 + 20 t = 0 + 25t

5000 = 5t

t = 1000

Trzymaliśmy się podstawowych jednostek, dlatego po obliczeniach jednostką t są sekundy. Podstawiamy t i obliczamy x.

x = 5000 + 20 t

x = 5000 + 20000 = 25000m

odp.

Samochód i motocykl spotkają się w odległości 25000 metrów po czasie 1000 sekund.

Zad.2 (średnia szybkość)

Samochód przejechał trasę pomiędzy dwoma miastami. Pierwsze 20km poruszał się z szybkością 36km/h, a kolejne 40km z szybkością 40 m/s. Oblicz średnią szybkość samochodu.

dane

s₁=20000 m, s₂=40000 m

v₁= 36 (1000m/3600s) = 10 m/s, v₂ = 40 m/s

rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru s = v t. Nie wiemy, ile czasu poruszał się z podanymi szybkościami.

20000 = 10 t₁ t₁=2000 s

40000 = 40 t₂ t₂=1000 s

Do policzenia średniej prędkości potrzebna nam bywa cała długość trasy i całkowity czas:

v_śr = s/t

s = s₁ + s₂ = 60000 m

t = t₁ + t₂ = 3000 s

v_śr = s/t = 20 m/s

odp.

Średnia szybkość wynosiła 20 m/s.

Zad.3 R (względna prędkość)

Dwa samochody poruszają się do tego samego punktu. Wektory ich prędkości są prostopadłe i posiadają wartości adekwatnie 30 km/h i 40 km/h. Oblicz ich względną prędkość.

dane

Jednostki zostają (nie będziemy w zadaniu przeprowadzać działań na jednostkach).

v₁=30 km/h, v₂=40 km/h

rozwiązanie

Obliczyć musimy względną prędkość, czyli:

$\vec v = \vec v_1 - \vec v_2$

Co nie bywa trywialne, bo wektory posiadają różne kierunki. Wynikiem będzie trzeci wektor v, pokazany na rysunku (korzystamy z geometrycznego dodawania wektorów).

Aby policzyć cena uzyskanego wektora v, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

30² + 40² = v²

v² = 2500

v = 50 km/h

odp.

Względna szybkość posiada cena 50 km/h.

Ciekawostki

Bo fizyką trzeba się bawić.

Porównajmy niektóre szybkości:

jadący samochód: ok. 15-30 m/s
szybkość dźwięku w powietrzu: ok. 340 m/s
samolot Concorde: do 600 m/s
Księżyc wokół Ziemi: ok. 1000 m/s
pierwsza szybkość kosmiczna: ok. 7910 m/s (prędkość na orbicie okołoziemskiej)
trzecia szybkość kosmiczna: ok. 16700 m/s (aby potrafić opuścić Układ Słoneczny)
prędkość fal, światła: ok. 300000000 m/s

Według teorii A. Einsteina, szybkość światła bywa prędkością graniczną i nie możemy jej przekroczyć. Co więcej, gdy organizm porusza się prędkością zbliżoną do niej, tego masa się zmienia, a termin zaczyna cieknąć oryginalnie aniżeli w otoczeniu...

Wzory

Ile wzorów trzeba zapamiętać, żeby umieć opisać ruch jednostajny prostoliniowy? Pokażemy, iż żadnego.

Szybkość średnia

Wzorem bywa v=s/t. Wystarczy aczkolwiek przypomnieć sobie jednostkę - km/h lub m/s. Podstawmy słowny opis: trasa / czas - i już mamy wzór na prędkość, którego nie trzeba zapamiętywać.

Droga

Wzór w zrozumiały metoda wyprowadzamy ze wzoru na prędkość. (Można sprawdzić poprawność dzięki działaniom na jednostkach: m = m/s $\cdot$ s, czyli droga=prędk $\cdot$ czas)

Czas

Wzór jednocześnie wyprowadzamy ze wzoru na prędkość.

Można wspomnieć o przyspieszeniu - aczkolwiek posiada ono wartość zero, dlatego pojawia się dopiero w następnym rozdziale. To wszystko z ruchu jednostajnego.

Opublikowano w Ruch jednostajny prostoliniowy

Czytaj więcej...

«pierwszapoprzednia12następna ostatnia»

Strona 1 z 2

Menu Główne

Dla miłośników

Edukacja

Poradniki

Pomoc w nauce

| Jeżeli w zasobach naszego serwisu nie znalazłeś tego czego szukałeś prosimy napisz do nas na e-mail: sugestie@fizyka.dk a my uzupełnimy te braki |

Korepetycje

Polecane książki

Ruch jednostajny po okręgu

Przyspieszenie dośrodkowe

Podsumowanie

Rzut pionowy

Rzut w dół

Rzut w górę

Rzut w górę - podsumowanie

Rzut poziomy

Rzut ukośny

Zadania

Ruch jednostajnie przyśpieszony

Przyspieszenie

Ruch opóźniony

Dodatkowe wzory

Zadania

Równanie i wykres drogi

Zadania

Ciekawostki

Wzory

Online:

Logowanie

Tagi

Menu Główne

Dla miłośników

Edukacja

Poradniki

Pomoc w nauce

Ostatnio dodane

Ostatnio modyfikowane

Ostatnio skomentowane

Najlepiej oceniane

Najczęściej czytane

Najwięcej komentarzy

Archiwum