Zasada zachowania energii w polu grawitacyjnym, centralnym - zadanie 2 - Fizyka Dla Każdego

Fizyka

Zadania

Grawitacja

Zasada zachowania energii w polu grawitacyjnym, centralnym - zadanie 2

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

Polecane książki

środa, 23 marca 2011 20:22

Zasada zachowania energii w polu grawitacyjnym, centralnym - zadanie 2

Napisał dr inż. Paweł Troka

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Wydrukuj
Email
Comments (18)

Oceń ten artykuł

(5 głosów)

Obliczyć, jaką prędkość należy nadać ciału na powierzchni Ziemi pionowo do góry, aby osiągnęło wysokość równą wysokości orbity geostacjonarnej nad równikiem.

Kliknij "więcej" aby zobaczyć rozwiązanie!

Dane:
H=R-R_z , gdzie R jest promieniem orbity geostacjonarnej.
E=const

v=?

Korzystamy między innymi z zasady zachowania energii:

- prosty wniosek z zasady zachowania energii ? zawsze prawdziwy.
$E_{p1}+E_{k1}=E_{p2}+E_{k2}$

- energia potencjalna ciała na powierzchni ziemi, mamy do czynienia z oddziaływaniem grawitacyjnym, więc nie możemy zastosować zwyczajnego wzoru na energię potencjalną mgh, gdyż g nie jest w polu grawitacyjnym takie samo, zmienia się, stałe jest tylko w przypadku gdy h jest dużo mniejsze od Rz a w tym przypadku tak nie jest.
$E_{p1}=-\frac{GM_{z}m}{R_{z}}$

$E_{k1}=\frac{mv^2}{2}$ - Energia kinetyczna związana z ruchem ciała, którą nadajemy ciału nadając mu prędkość.

$E_{p2}=-\frac{GM_{z}m}{R}$
Taką natomiast energię potencjalną będzie miało to ciało gdy wzniesie się na wysokość równą wysokości orbity geostacjonarnej

$E_{k2}=0$
Natomiast gdy wzniesie się na wysokość równą wysokości orbity geostacjonarnej energia kinetyczna będzie równa zero, gdyż H jest maksymalną ? ostateczną wysokością jaką może osiągnąć to ciało.

Zestawiamy to wszystko:

$-\frac{GM_{z}m}{R_{z}}+\frac{mv^2}{2}=-\frac{GM_{z}m}{R}$

Od teraz zaczynamy przekształcać tak aby otrzymać v.

$\frac{v^2}{2}=\frac{GM_{z}}{R_{z}}-\frac{GM_{z}}{R}$

$v^2=\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-\frac{2GM_{z}}{R}$

$v^2=2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{R} \right )$

$v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{R} \right )}$

Wszystko byłoby skończone ale nie mamy R ? promienia orbity geostacjonarnej. Musimy więc go wyprowadzić:

Wyprowadzenie promienia orbity geostacjonarnej:
Orbita geostacjonarna a więc taka na jakiej ciało będzie się znajdować cały czas nad tym samym miejscem nad powierzchnią Ziemi.
Muszą być spełnione warunki:

$T=T_{Ziemi}=24h=86400s$

A więc okres obiegu tego ciała musi być równy okresowi obiegu Ziemi - jednej dobie.
Oraz:

$F_{d}=F_{g}$
A więc siła odśrodkowa działająca na obracające się po orbicie geostacjonarnej ciało musi być równa sile grawitacji. Rozpisując ten warunek mamy:

$\frac{mv^2}{R}=G\frac{M_{z}m}{R^2}$

Gdzie R jest promieniem orbity geostacjonarnej a więc jest równy sumie długości promienia Ziemi ?Rz? i wysokości ?H? ? która jest odległością orbity geostacjonarnej od powierzchni Ziemi i jednocześnie to właśnie ją mamy policzyć. Zapisać więc można:

Dodatkowo musimy wiedzieć też coś o prędkości z jaką porusza się na orbicie geostacjonarnej dowolne ciało.
$v_{dc}=\frac{2\pi R}{T}$

Zaczniemy od równowagi sił, bo to dla nas najważniejsze równanie, dzielimy je przez masę ?m? i jednocześnie mnożymy przez promień orbity geostacjonarnej ?R?. Otrzymujemy:

Podstawiamy za Vdc.

Czyli otrzymujemy:

$\frac{4 {\pi}^2 R^2}{T^2}=\frac{GM}{R}$

Wypada trochę poprzekształcać, otrzymujemy:

$4 {\pi}^2 R^3=GMT^2$

Przekształćmy tak, aby otrzymać R, otrzymujemy:

$R=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}$

Teraz mając promień orbity geostacjonarnej możemy podstawić i policzyć poszukiwaną prędkość:

$v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}} \right )}$

Przekształcamy dalej:

$v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\sqrt[3]{\frac{4 {\pi}^2 }{GM_{z}T^2}} \right )}$

$v=\sqrt{\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-2GM_{z}\sqrt[3]{\frac{4 {\pi}^2 }{GM_{z}T^2}} }$

$v=\sqrt{\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-\sqrt[3]{\frac{32 {\pi}^2 \cdot G^3M^3_{z}}{GM_{z}T^2}} }$

$v=\sqrt{\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-\sqrt[3]{\frac{32 {\pi}^2 \cdot G^2M^2_{z}}{T^2}} }$

Po podstawieniu danych wychodzi
v=0,98v_II

Ale lepiej policzyć R, zgodnie ze wzorem:

$R=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}$

$R=4,2303864 \cdot 10^7 m$

I teraz wstawić do równania:

$v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{R} \right )}$

Wychodzi:
$v=10,32553821 \frac{km}{s}$
Co jest równe:
$v=0,9230769004v_{II}$

Standardowo, jeżeli są jakieś pytania prosimy o komentarze.

Dodatkowe informacje

Poziom kształcenia: liceum rozszerzony, uczelnia wyższa

Czytany 16700 razy Ostatnio zmieniany poniedziałek, 22 sierpnia 2011 21:22

Opublikowano w Grawitacja

Z etykietą

Podziel się tym z innymi

dr inż. Paweł Troka

Owner & CEO
E-Mail: ptroka@fizyka.dk
PTroka on Google+

Strona: fizyka.dk

Najnowsze od dr inż. Paweł Troka

Artykuły powiązane

Więcej w tej kategorii: « Zadanie 1 - Zasada zachowania energii mechanicznej w Polu Grawitacyjnym, centralnym Zadanie 3 - Pole Grawitacyjne - orbita geostacjonarna »

Komentarze

0 #18 Charlesjup 2026-09-13 19:10

Если нужно спилить дерево, не стоит это делать самостоятельно https://arbvbg.ru/spil-svetogorsk
Обращайтесь в компанию «Чистый Лес» https://arbvbg.ru/spil-sovetskii
Поможем расчистить площадку под застройку или ведение дачного хозяйства https://arbvbg.ru/spil-svetogorsk
Удалим лишние или старые растения в короткие сроки https://arbvbg.ru/privacypolicy

Законодательные ограничения В Москве существует строгий контроль за вырубкой деревьев https://arbvbg.ru/privacypolicy
Наша команда поможет в оформлении всех необходимых документов и получении разрешений, чтобы процесс был легальным и прозрачным https://arbvbg.ru/privacypolicy

Если имеется возможность и достаточно места, чтобы обеспечить падение, дерево срубается целиком https://arbvbg.ru/spil-vysotsk
В условиях ограниченного пространства порубка происходит постепенно, и ветви осторожно спускаются на землю https://arbvbg.ru/spil-primorsk

наличия рядом домов, гаражей, других построек и машин; значимой проезжей части, падение кусков ствола на которую может помешать проезду транспорта; ЛЭП; свободного пространства рядом; степенью аварийности дерева; в целом поставленными задачами перед специалистами (например, обрезка это или полное удаление).
Факторы, влияющие на стоимость работы https://arbvbg.ru/

Спилить дерево полностью с учетом направления падения https://arbvbg.ru/privacypolicy
Подобная технология применяется, когда нужно положить дерево в заданный сектор и есть возможность уронить его целиком https://arbvbg.ru/spil-kamennogorsk

Korepetycje

Polecane książki

Zasada zachowania energii w polu grawitacyjnym, centralnym - zadanie 2

Dodatkowe informacje

dr inż. Paweł Troka

Najnowsze od dr inż. Paweł Troka

Artykuły powiązane

Komentarze

Dodaj komentarz

Online:

Logowanie

Tagi

Menu Główne

Dla miłośników

Edukacja

Poradniki

Pomoc w nauce

Ostatnio dodane

Ostatnio modyfikowane

Ostatnio skomentowane

Najlepiej oceniane

Najczęściej czytane

Najwięcej komentarzy

Archiwum