v0.398pre-alpha

Fizyka Zadania Grawitacja Zasada zachowania energii w polu grawitacyjnym, centralnym - zadanie 2
Google+

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

środa, 23 marca 2011 20:22

Zasada zachowania energii w polu grawitacyjnym, centralnym - zadanie 2

Napisał 
Oceń ten artykuł
(3 głosów)

Obliczyć, jaką prędkość należy nadać ciału na powierzchni Ziemi pionowo do góry, aby osiągnęło wysokość równą wysokości orbity geostacjonarnej nad równikiem.

Kliknij "więcej" aby zobaczyć rozwiązanie!

Dane:
H=R-R_z , gdzie R jest promieniem orbity geostacjonarnej.
E=const

v=?



Korzystamy między innymi z zasady zachowania energii:

- prosty wniosek z zasady zachowania energii ? zawsze prawdziwy.
E_{p1}+E_{k1}=E_{p2}+E_{k2}


- energia potencjalna ciała na powierzchni ziemi, mamy do czynienia z oddziaływaniem grawitacyjnym, więc nie możemy zastosować zwyczajnego wzoru na energię potencjalną mgh, gdyż g nie jest w polu grawitacyjnym takie samo, zmienia się, stałe jest tylko w przypadku gdy h jest dużo mniejsze od Rz a w tym przypadku tak nie jest.
E_{p1}=-\frac{GM_{z}m}{R_{z}}



E_{k1}=\frac{mv^2}{2} - Energia kinetyczna związana z ruchem ciała, którą nadajemy ciału nadając mu prędkość.


E_{p2}=-\frac{GM_{z}m}{R}
Taką natomiast energię potencjalną będzie miało to ciało gdy wzniesie się na wysokość równą wysokości orbity geostacjonarnej


E_{k2}=0
Natomiast gdy wzniesie się na wysokość równą wysokości orbity geostacjonarnej energia kinetyczna będzie równa zero, gdyż H jest maksymalną ? ostateczną wysokością jaką może osiągnąć to ciało.

Zestawiamy to wszystko:

-\frac{GM_{z}m}{R_{z}}+\frac{mv^2}{2}=-\frac{GM_{z}m}{R}

Od teraz zaczynamy przekształcać tak aby otrzymać v.

\frac{v^2}{2}=\frac{GM_{z}}{R_{z}}-\frac{GM_{z}}{R}


v^2=\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-\frac{2GM_{z}}{R}


v^2=2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{R}  \right )


v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{R}  \right )}


Wszystko byłoby skończone ale nie mamy R ? promienia orbity geostacjonarnej. Musimy więc go wyprowadzić:

Wyprowadzenie promienia orbity geostacjonarnej:
Orbita geostacjonarna a więc taka na jakiej ciało będzie się znajdować cały czas nad tym samym miejscem nad powierzchnią Ziemi.
Muszą być spełnione warunki:

T=T_{Ziemi}=24h=86400s

A więc okres obiegu tego ciała musi być równy okresowi obiegu Ziemi - jednej dobie.
Oraz:

F_{d}=F_{g}
A więc siła odśrodkowa działająca na obracające się po orbicie geostacjonarnej ciało musi być równa sile grawitacji. Rozpisując ten warunek mamy:

\frac{mv^2}{R}=G\frac{M_{z}m}{R^2}

Gdzie R jest promieniem orbity geostacjonarnej a więc jest równy sumie długości promienia Ziemi ?Rz? i wysokości ?H? ? która jest odległością orbity geostacjonarnej od powierzchni Ziemi i jednocześnie to właśnie ją mamy policzyć. Zapisać więc można:

Dodatkowo musimy wiedzieć też coś o prędkości z jaką porusza się na orbicie geostacjonarnej dowolne ciało.
v_{dc}=\frac{2\pi R}{T}

Zaczniemy od równowagi sił, bo to dla nas najważniejsze równanie, dzielimy je przez masę ?m? i jednocześnie mnożymy przez promień orbity geostacjonarnej ?R?. Otrzymujemy:

Podstawiamy za Vdc.

Czyli otrzymujemy:

\frac{4 {\pi}^2 R^2}{T^2}=\frac{GM}{R}


Wypada trochę poprzekształcać, otrzymujemy:

4 {\pi}^2 R^3=GMT^2

Przekształćmy tak, aby otrzymać R, otrzymujemy:

R=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}


Teraz mając promień orbity geostacjonarnej możemy podstawić i policzyć poszukiwaną prędkość:



v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}}  \right )}

Przekształcamy dalej:

v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\sqrt[3]{\frac{4 {\pi}^2 }{GM_{z}T^2}}  \right )}



v=\sqrt{\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-2GM_{z}\sqrt[3]{\frac{4 {\pi}^2 }{GM_{z}T^2}} }



v=\sqrt{\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-\sqrt[3]{\frac{32 {\pi}^2 \cdot G^3M^3_{z}}{GM_{z}T^2}} }



v=\sqrt{\frac{2GM_{z}}{R_{z}}-\sqrt[3]{\frac{32 {\pi}^2 \cdot G^2M^2_{z}}{T^2}} }

Po podstawieniu danych wychodzi
v=0,98v_II

Ale lepiej policzyć R, zgodnie ze wzorem:

R=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}

R=4,2303864 \cdot 10^7 m

I teraz wstawić do równania:

v=\sqrt{2GM_{z}\left (\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{R}  \right )}

Wychodzi:
v=10,32553821 \frac{km}{s}
Co jest równe:
v=0,9230769004v_{II}


Standardowo, jeżeli są jakieś pytania prosimy o komentarze.

Dodatkowe informacje

  • Poziom kształcenia: liceum rozszerzony, uczelnia wyższa
Czytany 7061 razy Ostatnio zmieniany poniedziałek, 22 sierpnia 2011 21:22
mgr inż. Paweł Troka

Owner & CEO
E-Mail: ptroka@fizyka.dk
PTroka on Google+

Strona: fizyka.dk

Dodaj komentarz


a + b + a = ? Dane: a=2 b=3.

| Jeżeli w zasobach naszego serwisu nie znalazłeś tego czego szukałeś prosimy napisz do nas na e-mail: sugestie@fizyka.dk a my uzupełnimy te braki |

| Copyright © 2010-2015 by Fizyka Dla Każdego - http://fizyka.dk | All Rights Reserved. Kopiowanie treści bez pisemnego zezwolenia zabronione. |
| Polityka prywatności | Regulamin serwisu |

Valid XHTML 1.0 Transitional Poprawny CSS! [Valid Atom 1.0]