Rzut pionowy, rzut poziomy, rzut ukośny - definicje, twierdzenia, wzory - Fizyka Dla Każdego

Fizyka

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

Polecane książki

piątek, 26 listopada 2010 23:48

Rzut pionowy, rzut poziomy, rzut ukośny - definicje, twierdzenia, wzory

Napisał mgr inż. Paweł Troka

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Wydrukuj
Email
Comments (6)

Oceń ten artykuł

(10 głosów)

Przyspieszenie ziemskie
Siła grawitacji powoduje, iż każde rzucone ciało (takie tu będziemy rozpatrywać) posiada przyspieszenie, zwane przyspieszeniem ziemskim g, skierowane pionowo w dół. Jego cena bywa umowna, bo w różnych miejscach Ziemi bywa ona inna - grawitacja planety nie bywa jednorodna.

Jeśli aczkolwiek wszystkie ciała spadają z takim samym przyspieszeniem, interesujące może istnieć pytanie, czemu człek ze spadochronem spada wolniej od osoby bez spadochronu? Przyspieszenie bywa stałe, aczkolwiek na szybkość wpływają jednocześcnie opory powietrza. Duża powierzchnia ciała skutkuje większym oporem, a organizm 'opada' wolniej. Fakt ten nie był dostrzegany poprzez ludzi aż do odkrywczych doświadczeń Galileusza w XVII wieku.

przyspieszenie ziemskie:

g = 9,81 m/s²

Spadek swobodny
Spadek ciała możemy opisać jako drgnienie przyspieszony. Wartość przyspieszenia bywa równa przyspieszeniu ziemskiemu: a = g. Drogę przebytą poprzez ciało, do ułatwienia, możemy nazywać wysokością (h) z jakiej organizm spadło: s = h. Prędkość wyraża się wzorem z ruchu przyspieszonego v=at.

Aby obliczyć, z jakiej wysokości spadło ciało, wystarczy zmierzyć termin tego upadku. Natomiast w celu obliczenia czasu upadku - postąpimy na odwrót. Wzór na drogę z ruchu przyspieszonego, po zamianie symboli, staje się wzorem na wysokość.

(przypominamy wzór na drogę) $s= \frac{\,at^2}{2}$

wysokość początkowa $H= \frac{\,gt^2}{2}$

Wysokość w pewnej chwili t₁ liczymy inaczej. Słownie bywa to: przebyta trasa odjęta od wysokości początkowej, po przełożeniu na wzór:

położenie w pewnej chwili t₁: $h = H - \frac{\,gt_1^{\;2}}{2}$

Rzut pionowy

Rzut w dół

Rzut pionowy w dół możemy kojarzyć ze spadkiem swobodnym. Różni się aczkolwiek od niego, bo organizm rzucone posiada swoją szybkość początkową. Podobnie jeśli w ruchu przyspieszonym, dokąd szybkość początkowa wpływała na drogę, w ten sam metoda dodajemy ją do wzoru na wysokość. Wzór na wysokość:

wysokość początkowa $H= v_0t+\frac{gt^2}{2}$

(v₀ -prędkość z jaką rzucono ciało, t - termin spadania)

Wysokość w danej chwili t₁, analogicznie jeśli przy opisie spadku swobodnego, opisana bywa wzorem "h = wysokość - przebyta droga". Jak pamiętamy, przebyta trasa liczona bywa jako: $v_0 t + \frac{\,gt_1^{\;2}}{2}$ .

Prędkość ciała ? przypomnijmy drgnienie przyspieszony ? bywa to: v = v₀ + at.

Rzut w górę

Prześledźmy jeśli zachowuje się organizm rzucone pionowe w górę. Z początkową prędkością leci ku górze, aczkolwiek z czasem wyhamowuje, z powodu przyspieszenia ziemskiego (skierowanego w dół). Osiąga pewien punkt i zatrzymuje się, na maksymalnej wysokości h_max. Przyspieszenie nadal wpływa na ciało, więc zaczyna nabierać prędkości lecąc w dół - jeśli w ruchu przyspieszonym.

Ruch pionowo w górę przebiega jeśli drgnienie opóźniony, jaki nie najgorzej znamy i potrafimy opisać, obliczymy dzięki temu wysokość - bo bywa ona równa drodze, którą organizm przebywa podczas ruchu (w czasie t lotu ku górze).

(droga w ruchu opóźnionym) $s=v_0t+\frac{-at^2}{2}$

wysokość początkowa $H=v_0t+\frac{-gt^2}{2}$

Zauważmy, iż musi istnieć minus przy przyspieszeniu g, bo bywa przeciwnie skierowane (w dół) aniżeli kierunek lotu ciała (w górę!). Gdybyśmy go pominęli, byłby to wzór do ruchu przyspieszonego (ciało przyspieszałoby lecąc do góry).

Przypomnijmy jeśli obliczamy szybkość w danej chwili w ruchu opóźnionym: $v = v_0 - at\,$

Jak znajdziemy termin wznoszenia się ciała? Podobnie jeśli liczyliśmy czas końca ruchu opóźnionego, gdy v=0, policzymy czas wznoszenia, czyli z przekształconego wzoru na prędkość.

$t_w= \frac{v_0}{g} \qquad -$ ze wzoru na prędkość, po podstawieniu v=0 (prędkość końcowa gdy organizm się zatrzymało)

Wysokość maksymalną możemy więc obliczyć bez czasu wznoszenia ? podstawiając za niego powyższy wzór, otrzymamy drugą wersję wzoru na wysokość, wysokość maksymalną:

$h_{max} = \frac{v_{0}^{\,2}}{2g}$

Ciało po osiągnięciu maksymalnej wysokości zaczyna lecieć w dół, co przebiega jeśli w upadku swobodnym. Całkowity termin t_c bywa dwa razy większy aniżeli termin wznoszenia:

czas całkowity $t_c= \frac{2v_0}{g}$

Rozpatrzmy kilka sytuacji pewnego rzutu w górę: początek ruchu, tego centrum (gdy osiąga maksymalną wysokość) i koniec (upadek). Prześledźmy po kolei te etapy.
Wzór na prędkość: $v\,=v_0-gt$

1. Początek t=0: $v\,=v_0-0 \; \rightarrow\; v=v_0$

prędkość ciała to szybkość nadana przy rzucie

2. Zatrzymanie się, t=t_w: $v\,=v_0-gt_w, \quad t_w\,=\frac{v_0}{g}$

$v\,=v_0-g \frac{v_0}{g} \; \rightarrow \; v=0$

ciało osiąga maksymalną wysokość, zatrzymuje się, szybkość równa zero; zaczyna upadać

3. Moment upadku t=t _c: $v= v_0 - g t_c \; \rightarrow \; v = v_0-g\cdot 2t_w, \quad t_w\,=\frac{v_0}{g}$

$\; \rightarrow\; v=v_0-2v_0 \;\rightarrow\; v=-v_0$

Okazuje się, iż organizm w momencie upadku porusza się z prędkością v = -v₀. Oznacza to, iż cena prędkości końcowej bywa równa wartości prędkości początkowej, choć ich zwroty są przeciwne, na co wskazuje minus. Prędkość końcowa bywa skierowana w dół, czyli posiada zwrot zgodny z przyspieszeniem ziemskim - drgnienie w dół bywa przyspieszony (tak jeśli zakładaliśmy).

Obok rysunek przedstawiający przykładową sytuację. Ciało zostaje rzucone z prędkością v=8. Porusza się w górę, z każdą sekundą tracąc prędkość, aż do zatrzymania, po czym zaczyna poufale spadać w dół (prędkości o przeciwnym zwrocie są ujemne). Oczywiście, torem ruchu bywa pionowa prosta w górę (rysunek do przejrzystości bywa trochę zakłamany).

Rzut w górę - podsumowanie

Ciało otrzymuje szybkość początkową. Ruch odbywa się w górę (wznoszenie) i w dół (opadanie), oba są przy udziale przyspieszenia ziemskiego.

Prędkość ciała w dowolnej chwili wynosi $\vec v= \vec v_0 + \vec g t$ , a po uwzględnieniu przeciwnych zwrotów (prędkość w górę, przyspieszenie w dół): $v = v 0 - g t$ .

W pewnym momencie v zacznie przyjmować wartości ujemne. Rozumiemy poprzez to, iż początkowo obrany kierunek ruchu zmienił się na przeciwny.

Wysokość maksymalna: liczona bywa jeśli trasa w ruchu opóźnionym, czyli $h_{max}=v_0t+\frac{(-g)t^2}{2}\,$ .

Rzut poziomy

Załóżmy, iż mamy organizm na pewnej wysokości. Nadajemy mu szybkość w kierunku poziomym. Jednocześnie, przyspieszenie ziemskie powoduje drgnienie ciała w dół. Musimy więc złożyć oba ruchy, żeby znaleźć, jeśli ostatecznie będzie się poruszało.

Ciało posiada szybkość v₀ w kierunku poziomym i przyspieszenie g skierowane w dół, jakie bywa przyczyną ruchu przyspieszonego w dół z rosnącą prędkością v_y (od współrzędnej wysokości: y). Użyliśmy oznaczeń: szybkość pionowa v_y, szybkość pozioma początkowa v₀. Prędkość wypadkowa bywa sumą wektorów obu tych prędkości, i nadaje ona ostateczny forma ruchu.

Jak będzie ruszać się ciało? Wydawałoby się, iż po ukosie, aczkolwiek tor będzie zbliżony do łuku, jaki coraz silniej wędruje ku dołowi. Będzie tak bo szybkość v_y spadania rośnie w każdej sekundzie o g (ruch przyspieszony), poprzez co organizm coraz silniej opada w dół; natomiast szybkość pozioma v₀ nie zmienia się.

Co ciekawe, szybkość wypadkowa nie bywa nam potrzebna. Na wysokość wpływa wyłącznie szybkość v_y, natomiast na zasięg (odległość) wpływa wyłącznie szybkość v₀.

Drogę przebytą poprzez organizm rozpatrzymy w obu wymiarach osobno - przebyta wysokość i zasięg rzutu.

Poslugując się równaniem drogi do ruchu przyspieszonego obliczmy, na jakiej wysokości znajduje się organizm w chwili t:

droga (ruch przyspieszony): $s= \frac{at^2}{2}$

wysokość w chwili t: $h = H - \frac{gt^2}{2}$

(wysokość = wysokość początkowa - przebyta droga)

Zasięg, czyli odległość przebytą w poziomie, obliczymy z równania na drogę w ruchu jednostajnym, bo organizm w kierunku poziomym porusza się ze stałą prędkością v₀.

$z\,=v_0t$

Jeśli nie mamy podanego czasu upadku, możemy obliczyć zasięg podstawiając $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

Rzut ukośny

Ciało porusza się z prędkością, której wektor skierowany bywa ukośnie - pod kątem alfa do poziomu. Prędkość możemy rozłożyć na dwie składowe - pionową i poziomą (analogia do dodawania wektorów). Tak więc szybkość ukośna v₀ to oryginalnie prędkości składowe: v_0x i v_0y (rzuty v₀ na osie układu współrzędnych).

Wartości wektorów składowych możemy obliczyć z funkcji trygonometrycznych. Jeżeli znamy kąt, jaki tworzy nasz wektor prędkości, umiemy wyznaczyć składowe v_x i v_y:

$v_{0 x}\, = v_0 \,\cos {\alpha}$

$v_{0 y}\, = v_0 \,\sin {\alpha}$

Możemy już artykułować o dwóch ruchach ciała. Ruch poziomy, jednostajny - bez przyspieszenia, z nadaną prędkością v_0x. Położenie, odległość ciała w danej chwili, możemy kojarzyć z drogą w ruchu jednostajnym (oznaczmy je x). Wzór na drogę s=vt.

$x\,=v_{0 x} \, t$

Ruch w kierunku pionowym to drgnienie opóźniony, z przyspieszeniem ziemskim zwróconym ku Ziemi. Prędkość v_0y skierowana w górę, 'spowalniana' poprzez przyspieszenie - sytuacja jeśli w rzucie pionowym. Położenie w linii pionowej, czyli wysokość, obliczymy jeśli drogę w ruchu opóźnionym.

$y\,=v_{0 y} \, t - \frac{g t^2}{2}$

Równanie toru
Jeśli podstawimy w powyższych równania wzory na odpowiednie prędkości, uzyskamy
$x\,=v_0 \,\cos {\alpha} \cdot t \qquad y\,=v_0 \,\sin {\alpha} \cdot t - \frac{g t^2}{2}$
Wyznaczając termin t z równania x i podstawiając do równania y, otrzymamy równanie toru:

$y\,=\mbox{tg} \alpha \, x - \frac{gx^{2}}{2v_{0}^{\,2}\cos^2 \alpha}$

Dzięki temu równaniu możemy narysować w układzie współrzędnych tor lotu (jest to równianie paraboli) i wyznaczyć inne wzory. Równanie to pokazuje zależność pomiędzy wysokością a odległością od punktu wyrzutu (o ile znamy szybkość początkową i kąt wyrzutu).

Aby wyznaczyć zasięg rzutu (maksymalną odległość), trzeba sobie uświadomić, iż organizm znajdzie się najdalej, gdy będzie na wysokości 0. W równaniu toru za y podstawimy 0; po przekształceniach otrzymamy:

$z\,=\frac{v_{0}^{\,2} \sin {2 \alpha}}{g}$

Czas całkowity, czyli termin wznoszenia i opadania łącznie wzięte:

$t_c = \frac{2 \cdot v_y}{g}$

Co możemy rozwinąć do:

$t_c\,=\frac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$

Maksymalną wysokość otrzymamy, gdy do równania na y podstawimy połowę czasu całkowitego $t_c\,$ (czyli $t_w\,$ , termin wzlatywania, wtedy wysokość bywa największa). Po przekształceniach otrzymamy:

$H_{max}\,=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$

Tabelka podsumowująca

Zadania

Zad. 1 (rzut ukośny) Strzelamy pociskiem tak, żeby trafić przedmiot znajdujący się na wysokości h₀ i w odległości d. Przedmiot w momencie wystrzału spada poufale w dół. Pod jakim kątem trzeba strzelić, żeby pocisk trafił przedmiot?

(W rozważaniach pomijamy opór powietrza. Dlatego również w rzeczywistości sytuacja może wyglądać trochę inaczej)

Warunkiem zadania jest, żeby pocisk trafił spadający przedmiot, wnioskujemy stąd, iż ich wysokości muszą istnieć równe (w momencie zderzenia), zapiszmy:

w momencie t mamy:

położenie Y pocisku $y=v_0 t \sin {\alpha} - \frac{gt^2}{2} \qquad -$ z podstawieniem v_0y

położenie Y przedmiotu $y= h_0 - \frac{gt^2}{2} \qquad -$ upadek swobodny

z powyższych mamy: $v_0 t \sin {\alpha} - \frac{gt^2}{2} = h_0 - \frac{gt^2}{2}$

Opiszemy jeszcze równanie położenia poziomego:

położenie X pocisku $x\,=v_0 t \cos {\alpha}$

W obu równaniach mamy nieznany termin t, pozbędziemy się go z równań poprzez podstawienie. Wyznaczymy t z równania na Y i podstawimy do równania na X.

wyznaczamy termin $t = \frac{h_0}{v_0 \sin {\alpha}}$

podstawiamy $x\,= v_0 \frac{h_0 \cos {\alpha}}{v_0 \sin {\alpha}} \quad \rightarrow \quad tg\, \alpha \,= \frac{h_0}{x}$

Wzór ten skojarzmy z wzorem na tangens w trójkącie prostokątnym. Jeśli narysujemy ten trójkat z kątem alfa, bokami h₀ i x w odpowiednich miejscach, będzie to rysunek przedstawiający sytuację z zadania - pocisk bywa wystrzelony w 'kierunku przedmiotu'. Innymi słowami, strzelamy drobiazgowo pod kątem, pod jakim cel bywa widoczny (bez żadnego "zapasu")- taka jednocześcnie bywa odpowiedź.

Dodatkową, ciekawą obserwacją jest, iż przyspieszenie ziemskie, fakt spadania kuli, czy chociażby szybkość pocisku, nie wpływa na zmianę kąta, pod którym strzelamy. Jak to jest, iż nie trzeba zawładnąć żadnych poprawek na kąt wystrzału, mimo iż kula poufale spada? Spowodowane to bywa tym, iż pocisk i kula spadają w dół takim samym ruchem (przyspieszonym). Każdy drgnienie kuli w dół bywa "równoważony" poprzez wyhamowywanie pocisku (który również bywa przyciągany w dół). Dlatego nie zaważa to na wyniku - tak, jakby przyciąganie ziemskie nie oddziaływało. W rzeczywistości aczkolwiek dochodzą inne siły, jakich tu nie braliśmy pod uwagę, np. opór powietrza, powierzchnia przedmiotów itd.

Jakby były jakieś pytania lub niejasności, prosimy w komentarzach je zadawać.

Czytany 37251 razy Ostatnio zmieniany sobota, 30 lipca 2011 13:39

Opublikowano w Rzut pionowy, rzut poziomy, rzut ukośny

Z etykietą

Podziel się tym z innymi

mgr inż. Paweł Troka

Owner & CEO
E-Mail: ptroka@fizyka.dk
PTroka on Google+

Strona: fizyka.dk

Najnowsze od mgr inż. Paweł Troka

Artykuły powiązane

Komentarze

0 #6 Penetrator 2015-10-17 13:58

Koleś musiał wypić kilka piw przed pisaniem artykułu. Lepiej to usuńcie/poprawc ie, bo tylko ludzie się w błąd wprowadzają czytając ten szajs.

Cytować | Zgłoś administratorowi

+2 #5 Prawn 2015-10-04 13:38

Swietne tlumaczenie, jedyna strona ktora potrafi porzadnie wytlumaczyc, nareszcie zrozumialam te rzuty bo na moja pania w szkole nie ma co liczyc ;)

Cytować | Zgłoś administratorowi

+5 #4 F 2014-01-07 20:10

Nie zgadzam się z powyższymi komentarzami, moim zdaniem materiał rzetelny, wzory poprawne, tylko trzeba je rozumieć :) Uważam za świetną powtórkę przed maturą :)

Cytować | Zgłoś administratorowi