v0.398pre-alpha

Fizyka Wyprowadzenia wzorów Iloczyn wektorowy
Google+

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

czwartek, 24 lutego 2011 19:46

Iloczyn wektorowy

Napisał 
Oceń ten artykuł
(14 głosów)

Iloczyn wektorowy (ang. vector product - "wynik wektorowy"; też ang. cross product - "wynik krzyżykowy, krzyżowy") dwóch wektorów a i b (gdzie ? to kąt wewnętrzny) jest - w odróżnieniu od iloczynu skalarnego, który jest skalarem (liczbą) - nowym wektorem, prostopadłym do płaszczyzny utworzonej przez wektory a i b, tak skierowanym, aby tworzył razem z wektorami a i b układ prawoskrętny (reguła śruby prawoskrętnej).

 

Kierunek, na którym znajduje się nowo utworzony wektor, ukazuje (obrazowo) palec wskazujący (analogia śruby), którym tak kręcimy, aby kierunek wektora a (kciuk tworzący kąt prosty z palcem wskazującym) pokrył się z kierunkiem wektora b. Kciuk względem osi palca wskazującego obracamy po mniejszym z kątów.

 

Wartość iloczynu wektorowego jest zdefiniowana wzorem

|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\gamma\qquad(1)

Wektor będący produktem iloczynu skalarnego wektorów a i b ma postać

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \vec{a}\times\vec{b}=

=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\hat{x}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\hat{y}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\hat{z}\ \ (2)

Równoważnie z zapisem powyższym

\vec{a}\times\vec{b}=[a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}]

Wzór (2) łatwo jest zapamiętać dzięki wyznacznikowemu zapisowi iloczynu wektorów a=[ax,ay,az] i b=[bx,by,bz]. Zaznaczamy, że wersory x, y, z tworzą tzw. bazę ortogonalną, czyli są wektorami jednostkowymi osi OX, OY, OZ.

\vec{a}\times\vec{b}=det\begin{bmatrix}\hat{x} & \hat{y} &\hat{z} \\ a_{x} &a_{y}  &a_{z} \\ b_{x} &b_{y}  &b_{z} \end{bmatrix}

Równoważny z powyższym jest bardziej przejrzysty następujący zapis,

\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} a_{y}  &a_{z}\\b_{y}  &b_{z}\end{vmatrix}\hat{x}+\begin{vmatrix} a_{z}  &a_{x}\\b_{z}  &b_{x}\end{vmatrix}\hat{y}+\begin{vmatrix} a_{x}  &a_{y}\\b_{x}  &b_{y}\end{vmatrix}\hat{z}

Oczywiście, po rozwinięciu wyznaczników otrzymujemy wzór (2).

Postaramy się teraz udowodnić analitycznie powyższe wzory odpowiednio dla płaszczyzny i przestrzeni.

 

1.Iloczyn wektorowy wektorów a i b na płaszczyźnie XY.

2D, 3D i wektor r

Skorzystajmy z rysunku, tak jak to zrobiliśmy przy dowodzie iloczynu skalarnego.

Ponieważ z definicji iloczynu wektorowego otrzymamy wektor prostopadły do płaszczyzny OXY, więc będzie on miał kierunek osi OZ (niezaznaczonej na płaszczyźnie) i w naszym wypadku będzie on skierowany pod płaszczyznę (do monitoru). Zatem długość nowego wektora będzie nam zarazem wyznaczała współrzędną na osi OZ (z założenia). Dlatego wystarczy wyznaczyć wartość długości wektora, aby otrzymać jego współrzędną na osi prostopadłej do płaszczyzny OXY. Widzimy, że w tym celu możemy skorzystać ze wzoru (1), a funkcję sinus zapisać jako funkcję sinus różnicy kątów, podobnie jak to zrobiliśmy dla iloczynu skalarnego na płaszczyźnie.

Przyjmujemy (zgodnie z rysunkiem), że ? i ? to kąty pomiędzy wektorami odpowiednio a i b a osią OX.

\sin\gamma=\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta - \sin\beta\cos\alpha \qquad(3)

I korzystając z rysunku znajdujemy zależności trygonometryczne:

\sin\alpha=\frac{a_{y}}{|\vec{a}|}\qquad\cos\alpha=\frac{a_{x}}{|\vec{a}|}

\sin\beta=\frac{b_{y}}{|\vec{b}|}\qquad\cos\beta=\frac{b_{x}}{|\vec{b}|}

Wstawiając zależności trygonometrzyczne do wzoru (3) i zastępując nim funkcję sinus we wzorze (1) otrzymujemy

|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\gamma=a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}\qquad(4)

W tym miejscu przerwijmy na chwilę i zastanówmy się. Powiedzieliśmy (zresztą zgodnie z definicją), że nowy wektor będzie zwrócony pod płaszczyznę, czy  w stronę ujemnych wartości osi OZ. Dlatego wyliczoną współrzędną musimy wziąć z ujemnym znakiem (-). Zatem nowy wektor (nazwijmy go c) będzie miał postać

\vec{c}=[0,0,a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}]

Skonfrontujmy ten wynik z wyznacznikową postacią iloczynu wektorów a i b (czyli z wektorem c). Wektory a i b mają wtedy współrzędne a=[ax,ay,0] i b=[bx,by,0]

\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}=det\begin{bmatrix}\hat{x} & \hat{y} &\hat{z} \\ a_{x} &a_{y}  &0 \\ b_{x} &b_{y}  &0 \end{bmatrix}

 

\vec{c}=0\hat{x}+0\hat{y}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\hat{z}

Zatem doszliśmy do poprawnego wyniku. Widzimy, że ten przypadek jest szczególnym przypadkiem położenia wektorów a i b, kiedy leżą na płaszczyźnie OXY, czyli wtedy kiedy ich współrzędne az=0 i bz=0.

2. Iloczyn wektorowy wektorów a i b w przestrzeni XYZ.

Postarajmy się analitycznie wyprowadzić wzór na współrzędne wektora będącego iloczynem dwóch wektorów a i b dowolnie ułożonych w przestrzeni 3D, choć niewątpliwie szybciej otrzymamy wzór, korzystając z wyznacznikowej postaci iloczynu wektorowego.

W tym celu posłużymy się wzorem wyprowadzonym dla iloczynu skalarnego w przestrzeni XYZ, a mianowicie

|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\gamma=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

Wyznaczmy z niego samą funkcję cosinus

\cos\gamma=\frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

I podnieśmy do kwadratu

\cos^2\gamma=\frac{(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})^2}{(|\vec{a}||\vec{b}|)^2}\qquad(5)

Pamiętamy, że

|\vec{a}|^2=a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2\qquad(6)

|\vec{b}|^2=b_{x}^2+b_{y}^2+b_{z}^2\qquad(7)

Wstawmy powyższe dwie zależności do równania (5) i wymnóżmy w nim wszystkie nawiasy.

Wtedy nasz cosinus w drugiej potędze będzie miał postać

\small \130dpi \frac{(a_{x}b_{x})^2+(a_{y}b_{y})^2+(a_{z}b_{z})^2+2a_{x}b_{x}a_{y}b_{y}+2a_{x}b_{x}a_{z}b_{z}+2a_{y}b_{y}a_{z}b_{z}}{(a_{x}b_{x})^2+(a_{y}b_{y})^2+(a_{z}b_{z})^2+(a_{x}b_{y})^2+(a_{x}b_{z})^2+(a_{y}b_{x})^2+(a_{y}b_{z})^2+(a_{z}b_{x})^2+(a_{z}b_{y})^2}

Dodajmy i odejmijmy w liczniku pozostałe ostatnie 6 nawiasów, które są w mianowniku a nie zawiera nasz licznik (powtarzają się tylko 3 pierwsze nawiasy z mianowika).
Następnie podzielmy licznik przez mianownik uzyskując 1 + resztę, zaś mianownik zapisujemy z powrotem w formie równań (6) i (7), następująco:

\small \120dpi 1+\frac{2(a_{x}b_{x}a_{y}b_{y}+a_{x}b_{x}a_{z}b_{z}+a_{y}b_{y}a_{z}b_{z})-(a_{x}b_{y})^2-(a_{y}b_{x})^2-(a_{y}b_{z})^2-(a_{z}b_{y})^2-(a_{x}b_{z})^2-(a_{z}b_{x})^2}{(a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2)(b_{x}^2+b_{y}^2+b_{z}^2)}

Zajmijmy się teraz samym licznikiem i pogrupujmy go sensownie, zmieniając kolejności czynników w iloczynach i rozwijając nawias

a_{x}b_{y}a_{y}b_{x}+a_{y}b_{x}a_{x}b_{y}+a_{y}b_{z}a_{z}b_{y}+a_{z}b_{y}a_{y}b_{z}+a_{x}b_{z}a_{z}b_{x}+a_{z}b_{x}a_{x}b_{z}

-a_{x}^2b_{y}^2 - a_{y}^2b_{x}^2 - a_{y}^2b_{z}^2 - a_{z}^2b_{y}^2 - a_{x}^2b_{z}^2 - a_{z}^2b_{x}^2

Pogrupujmy teraz odpowiednio pierwszy wyraz pierwszej linii z pierwszym wyrazem drugiej linii itd. W rezultacie nasz licznik przybiera postać

a_{x}b_{y}(a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y})+a_{y}b_{x}(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}) + a_{y}b_{z}(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z})+a_{z}b_{y}(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})+a_{x}b_{z}(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})+a_{z}b_{x}(a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x})

I znowu łączymy w grupy wyrazy 1 + 2, 3 + 4, 5 + 6, ze względu na podobieństwo nawiasów. Otrzymujemy wtedy:

(a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y})(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})+(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z})(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})+

+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})(a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x})

Zapiszmy licznik w następującej formie uwzględniając już mianownik:

\frac{-(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})^2 - (a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})^2 - (a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})^2}{(a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2)(b_{x}^2+b_{y}^2+b_{z}^2)}

Zatem w całości

\cos^2\gamma=1+\frac{-(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})^2 - (a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})^2 - (a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})^2}{(a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2)(b_{x}^2+b_{y}^2+b_{z}^2)}

Korzystając jedynki trygonometrycznej,

\cos^2\gamma=1-\sin^2\gamma

zauważamy podobieństwo i przyrównujemy odpowiednie części do siebie. Stąd wynika, że

\sin^2\gamma=\frac{(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})^2 + (a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})^2 + (a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})^2}{(a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2)(b_{x}^2+b_{y}^2+b_{z}^2)}

Czyli

\sin\gamma=\frac{\sqrt{(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})^2 + (a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})^2 + (a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})^2}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\quad(8)

Gdzie przyjeliśmy całkiem naturalne oznaczenie

|\vec{a}|=\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2}

|\vec{b}|=\sqrt{b_{x}^2+b_{y}^2+b_{z}^2}

Podstawiając wzór (8) do (1) uzyskujemy

|\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})^2 + (a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})^2 + (a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})^2}\quad(9)

Dodajmy, że dowolny wektor c zapisany w postaci wzoru (10) ma wartość określoną przez wzór (11)

\vec{c}=[c_{x},c_{y},c_{z}]\qquad(10)

 

|\vec{c}|=\sqrt{c_{x}^2+c_{y}^2+c_{z}^2}\qquad(11)

Stąd na podstawie podobieństwa przyrównujemy odpowiednie części wzoru (9) ze wzorem (11) i otrzymujemy:

c_{x} = a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}

c_{y} = a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}

c_{z} = a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}

Czytany 21448 razy Ostatnio zmieniany piątek, 23 grudnia 2011 18:25
Vojtech Mańkowski

Rola: Redaktor, Korekta
E-Mail: vojtaman@gmail.com

Strona: fizyka.dk

Artykuły powiązane

Dodaj komentarz


Kod antyspamowy
Odśwież

| Jeżeli w zasobach naszego serwisu nie znalazłeś tego czego szukałeś prosimy napisz do nas na e-mail: sugestie@fizyka.dk a my uzupełnimy te braki |

| Copyright © 2010-2015 by Fizyka Dla Każdego - http://fizyka.dk | All Rights Reserved. Kopiowanie treści bez pisemnego zezwolenia zabronione. |
| Polityka prywatności | Regulamin serwisu |

Valid XHTML 1.0 Transitional Poprawny CSS! [Valid Atom 1.0]