Nie ma wątpliwości, że analiza matematyczna jest podstawowym narzędziem matematycznym do opisywania zjawisk fizycznych zachodzących w technice ? spośród narzędzi analizy matematycznej prym wiodą równania różniczkowe ? z tego względu, iż pozwalają one na stworzenie dynamicznego modelu zjawiska, a tym samym przeprowadzenia prognozy działania danego systemu.

Jednym z elementarnych modeli kanonicznym wręcz, jest równanie oscylatora harmonicznego, a stare powiedzenie głosi wręcz, że ?fizyka dotyczy tej części przyrody którą można opisać modelem oscylatora harmonicznego?. Przypomnijmy zatem to równanie w jego kanonicznej formie:

Wszędzie gdzie w technice spotykamy drgania ? w pierwszym przybliżeniu zawsze możemy spróbować modelować jest za pomocą oscylatora harmonicznego ? przykładem takiego układu jest chociażby tradycyjny zegarek ręczny.

Nie zawsze jednak takie modelowanie będzie zgodne z rzeczywistym stanem systemu. Dopóki poruszamy się w obrębie klasycznej fizyki newtonowskiej (nierelatywistycznej i niekwantowej), sama forma równania nie będzie problemem ? wszak wynika ona z drugiej zasady dynamiki Newtona ? najwrażliwszym i krytycznym elementem równania jest parametr omega ? ilościowo określający ?sprężystość? układu ? na przykład właściwości drgającego w zegarku włosa. Założenie, że parametr ten jest stały i nieczuły na warunki otoczenia jest zdecydowanie zbyt silne ? tak naprawdę każdy oscylator jest podatny na wpływ otoczenia, podlega naturalnemu zużyciu ? a trafne zamodelowanie takich procesów umożliwiłoby już na etapie konstrukcji i prototypowania wprowadzenie odpowiednich rozwiązań. Do tego celu potrzebne jest jednak odpowiednie równanie różniczkowe oraz metoda by je rozwiązać.

Dla ustalenia uwagi rozważmy w naszym przykładzie, że włókno włosa podlega stopniowemu zużyciu, ?wiotczeje? ? omega będzie wówczas malejącą funkcją czasu, malejącą do zera (ujemne omegi nie mają technicznego uzasadnienia). W tym momencie musimy odpowiedzieć na pytanie ? jaką funkcją opisać parametr omega. Tutaj nie ma jednej dobrej odpowiedzi ? dysponując danymi doświadczalnymi możemy dokonywać numerycznych aproksymacji. Pozostaje jednak pytanie, co zrobić gdy nie mamy żadnych danych?

W takich sytuacjach należy kierować się doświadczeniem oraz pewnym rodzajem intuicji ? przyroda ma bowiem to do siebie, że lubi prostotę ? toteż biorąc pod uwagę intuicyjną prostotę praw natury oraz to, że nasza funkcja ma być malejąca, dążyć do zera, ale go nie przekroczyć najlepszym wyborem jest ulubiona funkcja wszystkich fizyków ? eksponens.

Nieznany parametr alfa pełni dwojaką funkcję. Po pierwsze zapewnia to, by wykładnik eksponenty był bezwymiarowy, po drugie zaś jest swobodnym parametrem w naszym modelu ? jest to o tyle istotne, że nasz wybór eksponenty, jako funkcji opisującej ?wiotczenie? włosa zegara, był czysto heurystyczny ? dysponując zatem pewnym dodatkowym parametrem, będziemy mogli określić wartość parametru alfa przy której równanie najlepiej zgadza się z otrzymanymi danymi ? a następnie określić parametr alfa bezpośrednio z badania samego oscylatora ? porównanie obu wielkości da nam informację o tym na ile dokładny był przyjęty model , co stanowi jego ostateczną weryfikację. Uzbrojeni w tą wiedzę, możemy podejść teraz do zadania kluczowego ? to jest rozwiązać równanie różniczkowe:

Równanie to nie wygląda na łatwe w rozwiązaniu. Pierwsze co możemy zrobić w tej sytuacji to wprowadzić zmienną bezwymiarową. Tylko jaką zmienną wybrać? Z jednej strony wybór zmiennej nie ma znaczenia ? będziemy mieli to samo równanie do rozwiązania. Z drugiej jednak strony odpowiednie przekształcenia są krytycznym elementem całego procesu ? jak bowiem wiemy zdecydowana większość równań różniczkowych opisujących procesy techniczne ma rozwiązania w postaci różnych funkcji specjalnych ? zatem mając odpowiednią postać równania wystarczy tylko jeden rzut oka by określić jego rozwiązanie. Można oczywiście, a w wielu niejasnych sytuacjach jest to wręcz konieczność, szukać rozwiązania ?od podstaw?, ale często naraża nas to na konieczność żmudnego poszukiwania rozwiązania w postaci szeregu ? oczywiście mogą się pojawić głosy, że rozwiązaniem takich równań i tak mogą zająć się komputery, lecz bez biegłej znajomości symbolicznego rozwiązywania takich problemów, nie ma mowy o świadomym stosowaniu pomocy w postaci analizy numerycznej. Znalezienie odpowiedniego podstawienia jest wobec tego kluczowe.

Prosta intuicja podpowiedziałaby, że naturalną zmienną bezwymiarową dla naszego równania będzie:

Po przeprowadzeniu roboczych rachunków okazało się jednak, że zmienna nie prowadzi do znanego równania różniczkowego ? oto otrzymany wynik:

Równanie to było więc stosunkowo podobne do równania Bessela (z dokładnością do współczynników):

Różnica występowała jedynie w ostatnim członie ? intuicja podpowiadała więc, że warto znaleźć inne podstawienie ? które doprowadzi równanie wyjściowe do równania Bessela. Logiczne wydało się więc sprawdzenie następującej zmiennej:

I to podstawienie doprowadziło nas do równania:

Które po kosmetycznych poprawkach przybrało postać równania Bessela zerowego rzędu:

Przy okazji przypomnijmy tutaj wzór na zamianę zmiennych w operatorze różniczkowym drugiego rzędu:

Jak wiemy rozwiązaniem równania jest kombinacja liniowa funkcji Bessela:

Z drugiej jednak strony punkty osobliwe nie mają technicznego sensu, zatem pozostaje nam rozwiązanie:

Pamiętajmy przy tym, że cały czas pozostajemy przy zmiennej bezwymiarowej ? którą zdefiniowaliśmy wcześniej. Stałą dobieramy już zależnie od konkretnych warunków początkowych problemu ? dla ustalenie uwagi przyjmijmy, że w chwili zerowej oscylator był nieruchomy i wychylony o wartość początkową 1. Wówczas rozwiązanie ma postać:

Gdzie wartość liczbowa to aproksymacja na podstawie programu Computator.NET? funkcji Bessla dla chwili zerowej, czyli w punkcie o wartości 1.

Na tym prostym przykładzie prześledziliśmy proces poszukiwania rozwiązania równania różniczkowego ? poprzez sprowadzenie go do znanej postaci. Ze względu na prostotę wywodu rachunki zostały przeprowadzone w sposób szkicowy jednak każdy czytelnik powienien bez problemu móc przeprowadzić je samodzielnie ? kolejne ciekawe analizy pojawią się w kolejnych artykułach.

Dziękuję za lekturę.

Kordian Czyżewski