v0.398pre-alpha

Fizyka SEKCJA ELITARNA Równania różniczkowe w modelowaniu procesów technicznych cz. 1
Google+

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

wtorek, 11 sierpnia 2015 00:03

Równania różniczkowe w modelowaniu procesów technicznych cz. 1 Wyróżniony

Napisał 

Niniejszy artykuł otwiera serię artykułów poświęconych relacjom między fizyką, matematyką i techniką. Pomimo swojej wagi – obszar graniczny między matematyką abstrakcyjną a ścisłymi dziedzinami inżynierskimi jest polem działania wyłącznie izolowanej grupy ekspertów fizyki matematycznej i matematyki stosowanej. Inżynierowie bagatelizują je ze względu na małą przydatność w standardowej praktyce; matematycy z kolei preferują rozważania na wyższym poziomie abstrakcji. Jak jednak się przekonamy – zagadnienia z pogranicza dziedzin wiedzy są ciekawym i twórczym polem do rozważań. Zapraszam do lektury!

 

Nie ma wątpliwości, że analiza matematyczna jest podstawowym narzędziem matematycznym do opisywania zjawisk fizycznych zachodzących w technice – spośród narzędzi analizy matematycznej prym wiodą równania różniczkowe – z tego względu, iż pozwalają one na stworzenie dynamicznego modelu zjawiska, a tym samym przeprowadzenia prognozy działania danego systemu.

Jednym z elementarnych modeli kanonicznym wręcz, jest równanie oscylatora harmonicznego, a stare powiedzenie głosi wręcz, że „fizyka dotyczy tej części przyrody którą można opisać modelem oscylatora harmonicznego”. Przypomnijmy zatem to równanie w jego kanonicznej formie:

\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}+\omega^{2}x(t)=0

Wszędzie gdzie w technice spotykamy drgania – w pierwszym przybliżeniu zawsze możemy spróbować modelować jest za pomocą oscylatora harmonicznego – przykładem takiego układu jest chociażby tradycyjny zegarek ręczny.

Tradycyjny zegarek mechaniczny

Nie zawsze jednak takie modelowanie będzie zgodne z rzeczywistym stanem systemu. Dopóki poruszamy się w obrębie klasycznej fizyki newtonowskiej (nierelatywistycznej i niekwantowej), sama forma równania nie będzie problemem – wszak wynika ona z drugiej zasady dynamiki Newtona – najwrażliwszym i krytycznym elementem równania jest parametr omega – ilościowo określający „sprężystość” układu – na przykład właściwości drgającego w zegarku włosa. Założenie, że parametr ten jest stały i nieczuły na warunki otoczenia jest zdecydowanie zbyt silne – tak naprawdę każdy oscylator jest podatny na wpływ otoczenia, podlega naturalnemu zużyciu – a trafne zamodelowanie takich procesów umożliwiłoby już na etapie konstrukcji i prototypowania wprowadzenie odpowiednich rozwiązań. Do tego celu potrzebne jest jednak odpowiednie równanie różniczkowe oraz metoda by je rozwiązać.

Dla ustalenia uwagi rozważmy w naszym przykładzie, że włókno włosa podlega stopniowemu zużyciu, „wiotczeje” – omega będzie wówczas malejącą funkcją czasu, malejącą do zera (ujemne omegi nie mają technicznego uzasadnienia). W tym momencie musimy odpowiedzieć na pytanie – jaką funkcją opisać parametr omega. Tutaj nie ma jednej dobrej odpowiedzi – dysponując danymi doświadczalnymi możemy dokonywać numerycznych aproksymacji. Pozostaje jednak pytanie, co zrobić gdy nie mamy żadnych danych?

W takich sytuacjach należy kierować się doświadczeniem oraz pewnym rodzajem intuicji – przyroda ma bowiem to do siebie, że lubi prostotę – toteż biorąc pod uwagę intuicyjną prostotę praw natury oraz to, że nasza funkcja ma być malejąca, dążyć do zera, ale go nie przekroczyć najlepszym wyborem jest ulubiona funkcja wszystkich fizyków – eksponens.

\omega^{2}(t)=\omega_{0}^{2}(t)exp(-\alpha t)

Nieznany parametr alfa pełni dwojaką funkcję. Po pierwsze zapewnia to, by wykładnik eksponenty był bezwymiarowy, po drugie zaś jest swobodnym parametrem w naszym modelu – jest to o tyle istotne, że nasz wybór eksponenty, jako funkcji opisującej „wiotczenie” włosa zegara, był czysto heurystyczny – dysponując zatem pewnym dodatkowym parametrem, będziemy mogli określić wartość parametru alfa przy której równanie najlepiej zgadza się z otrzymanymi danymi – a następnie określić parametr alfa bezpośrednio z badania samego oscylatora – porównanie obu wielkości da nam informację o tym na ile dokładny był przyjęty model , co stanowi jego ostateczną weryfikację. Uzbrojeni w tą wiedzę, możemy podejść teraz do zadania kluczowego – to jest rozwiązać równanie różniczkowe:

\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}(t)e^{-\alpha t}x(t)=0

Równanie to nie wygląda na łatwe w rozwiązaniu. Pierwsze co możemy zrobić w tej sytuacji to wprowadzić zmienną bezwymiarową. Tylko jaką zmienną wybrać? Z jednej strony wybór zmiennej nie ma znaczenia – będziemy mieli to samo równanie do rozwiązania. Z drugiej jednak strony odpowiednie przekształcenia są krytycznym elementem całego procesu – jak bowiem wiemy zdecydowana większość równań różniczkowych opisujących procesy techniczne ma rozwiązania w postaci różnych funkcji specjalnych – zatem mając odpowiednią postać równania wystarczy tylko jeden rzut oka by określić jego rozwiązanie. Można oczywiście, a w wielu niejasnych sytuacjach jest to wręcz konieczność, szukać rozwiązania „od podstaw”, ale często naraża nas to na konieczność żmudnego poszukiwania rozwiązania w postaci szeregu – oczywiście mogą się pojawić głosy, że rozwiązaniem takich równań i tak mogą zająć się komputery, lecz bez biegłej znajomości symbolicznego rozwiązywania takich problemów, nie ma mowy o świadomym stosowaniu pomocy w postaci analizy numerycznej. Znalezienie odpowiedniego podstawienia jest wobec tego kluczowe.

Prosta intuicja podpowiedziałaby, że naturalną zmienną bezwymiarową dla naszego równania będzie:

\tau= e^{-\alpha t}

Po przeprowadzeniu roboczych rachunków okazało się jednak, że zmienna nie prowadzi do znanego równania różniczkowego – oto otrzymany wynik:

 \left(\alpha^{2}\tau^{2}\frac{d^{2} x(\tau)}{d\tau^{2}}+\alpha^{2}\tau\frac{d x(\tau)}{d\tau} +\omega_{0}^{2}\tau x(\tau)=0

Równanie to było więc stosunkowo podobne do równania Bessela (z dokładnością do współczynników):

 \left\tau^{2}\frac{d^{2} x(\tau)}{d\tau^{2}}+\tau\frac{d x(\tau)}{d\tau} +\tau^{2} x(\tau)=0

Różnica występowała jedynie w ostatnim członie – intuicja podpowiadała więc, że warto znaleźć inne podstawienie – które doprowadzi równanie wyjściowe do równania Bessela. Logiczne wydało się więc sprawdzenie następującej zmiennej:

\tau= e^{-\frac{\alpha t}{2}}

I to podstawienie doprowadziło nas do równania:

 \left(\frac{\alpha^{2}}{4}\tau^{2}\frac{d^{2} x(\tau)}{d\tau^{2}}+\frac{\alpha^{2}}{4}\tau\frac{d x(\tau)}{d\tau} +\omega_{0}^{2}\tau^{2} x(\tau)=0

Które po kosmetycznych poprawkach przybrało postać równania Bessela zerowego rzędu:

 \left\tau^{‘}^{2}\frac{d^{2} x(\tau^{‘})}{d\tau^{‘}^{2}}+\tau\frac{d x(\tau^{‘})}{d\tau} +\tau^{‘}^{2} x(\tau^{‘})=0

Przy okazji przypomnijmy tutaj wzór na zamianę zmiennych w operatorze różniczkowym drugiego rzędu:

\frac{d^{2}}{dt^{2}}= \frac{d}{dt}\frac{d\tau}{dt}\frac{d}{d\tau}=\left(\frac{d\tau}{dt} \right)^{2}\frac{d^{2}}{d\tau^{2}}+\frac{d^{2}\tau}{dt^{2}}\frac{d}{d\tau}

Jak wiemy rozwiązaniem równania jest kombinacja liniowa funkcji Bessela:

x(\tau^{‘})=A_{0}J_{0}(\tau^{‘})+B_{0}Y_{0}(\tau^{‘})

Z drugiej jednak strony punkty osobliwe nie mają technicznego sensu, zatem pozostaje nam rozwiązanie:

x(\tau^{‘})=A_{0}J_{0}(\tau^{‘})

Pamiętajmy przy tym, że cały czas pozostajemy przy zmiennej bezwymiarowej – którą zdefiniowaliśmy wcześniej. Stałą dobieramy już zależnie od konkretnych warunków początkowych problemu – dla ustalenie uwagi przyjmijmy, że w chwili zerowej oscylator był nieruchomy i wychylony o wartość początkową 1. Wówczas rozwiązanie ma postać:

x(\tau^{‘})= 1.3157 J_{0}(\tau^{‘})

 

Gdzie wartość liczbowa to aproksymacja na podstawie programu Computator.NET® funkcji Bessla dla chwili zerowej, czyli w punkcie o wartości 1.

Na tym prostym przykładzie prześledziliśmy proces poszukiwania rozwiązania równania różniczkowego – poprzez sprowadzenie go do znanej postaci. Ze względu na prostotę wywodu rachunki zostały przeprowadzone w sposób szkicowy jednak każdy czytelnik powienien bez problemu móc przeprowadzić je samodzielnie – kolejne ciekawe analizy pojawią się w kolejnych artykułach.

Dziękuję za lekturę.

Kordian Czyżewski

Czytany 3148 razy Ostatnio zmieniany sobota, 27 sierpnia 2016 19:54
mgr inż. Kordian Czyżewski

specjalność: opracowania teoretyczne
E-Mail: kordiancz25@wp.pl

Komentarze   

 
0 #2 Łukasz 2017-02-17 22:31
Tak.
Cytować | Zgłoś administratorowi
 
 
+2 #1 Jan 2015-11-01 18:35
Wiedza chyba z XIX wieku a w latach od 50 do 90 to była podstawa każdego studenta z działów, w których przebiegi czasowe były codziennością np automatyki, elektryki, mechaniki itp. Najpiękniejsze jest to że te równania w dziedzinie czasu są takie same zarówno w mechanice jak i elektryce i cieple a nawet w opisywaniu reakcji społecznych czy też na giełdzie. I na tym polega piękno tych równań. Przerażające jest to że dzisiaj są w dziale wiedzy elitarnej a jeszcze kilkadziesiąt lat temu to była podstawa wielu kierunków inżynierskich.
Cytować | Zgłoś administratorowi
 

Dodaj komentarz


| Jeżeli w zasobach naszego serwisu nie znalazłeś tego czego szukałeś prosimy napisz do nas na e-mail: sugestie@fizyka.dk a my uzupełnimy te braki |

| Copyright © 2010-2015 by Fizyka Dla Każdego - http://fizyka.dk | All Rights Reserved. Kopiowanie treści bez pisemnego zezwolenia zabronione. |
| Polityka prywatności | Regulamin serwisu |

Valid XHTML 1.0 Transitional Poprawny CSS! [Valid Atom 1.0]