Wymagania w stosunku do czytelnika

Na samym wstępie chciałbym zaznaczyć, że zrozumienie artykułu wymaga biegłej znajomości matematyki ze szkoły średniej, algebry, analizy matematycznej (w stopniu zaawansowanym),

biegłości w rozpoznawaniu typów równań różniczkowych zwyczajnych oraz wiedzy na temat ich rozwiązywania. Samo zrozumienie artykułu wymaga znajomości WSZYSTKICH tych wyżej wymienionych instrumentów matematyki. JEDNAK! aby móc wykorzystać wiedzę zawartą w tym artykule dodatkowo wymagane jest doświadczenie w rozwiązywaniu równań cząstkowych (metoda rozwiązywania równań cząstkowych wykorzystując metodę podstawiania albo inną).

Algorytm wyznaczania postaci kanonicznej równania prawie-liniowego cząstkowego II rzędu.

Tak dla jasności: prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe II rzędu jest postaci:

1. Obliczamy wyróżnik równania:

2. Określamy typ równania w zależności od wartości obliczonego wyróżnika:

a)-równanie typu hiperbolicznego,

b)-równanie typu parabolicznego,

c)- równanie typu eliptycznego.

Warto zaznaczyć, że w różnych obszarach rozpatrywanej dziedziny (tj. zbioru argumentów funckji) równanie może być różnego typu.

3.Tworzymy równanie charakterystyczne:

Obliczamy wyróżnik równania charakterystycznego ze wzoru:

W zależności od obliczonej wartości możemy dojść do jednej z 3 możliwości:

 a)  Obliczamy  rozwiązujemy 2 równania różniczkowe zwyczajne, następnie rugujemy stałe C₁ i C₂. Dla jasności stałe C₁ i C₂ dotyczą rozwiązań ogólnych równań różniczkowych zwyczajnych kolejno pierwszego i drugiego.

Stosujemy podstawienie:

b) Mamy tylko jeden pierwiastek równania charakterystycznego . Rozwiązujemy równanie różniczkowe zwyczajne i rugujemy stałą C₁. Podstawiamy:

UWAGA! Nie mamy C₂ więc załóżmy, że:

Przy czym:

Podstawiamy funkcję taką by Jakobian był różny od 0 czyli

Odnosząc się do geometrii analitycznej oznacza to, że funkcje nie przecinają się. Mamy tutaj do czynienia z tzw. zamianą nieosobliwą.

c)Dla tego przypadku otrzymamy liczby zespolone.Obliczamy i rozwiązujemy 2 równania różniczkowe zwyczajne, następnie rugujemy stałe C₁ i C₂ analogicznie jak dla podpunktu a).

Stosujemy podstawienie:

4.Obliczamy pochodne cząstkowe:

5.Obliczamy pochodne cząstkowe związane z podstawieniami:

6.Podstawiamy otrzymane zależności do równania wyjściowego i otrzymujemy postać kanoniczną równania:

1) Równanie falowe

Dla tego przypadku współczynnik c w fizycznym znaczeniu jest prędkością rozchodzenia się zaburzeń.

2) Równanie dyfuzji (równanie ciepła):

Dla tego przypadku c w fizycznym znaczeniu jest współczynnikiem proporcjonalności dyfuzji.

3) Równanie Laplace?a:

Przykłady

Przykłady ukazane w tej części będą rozwiązywane wzorując się na wcześniej pokazanym schemacie postępowania. Często nazwy poszczególnych kroków będą opisane identycznie jak zostało to przedstawione w algorytmie wyznaczania postaci kanonicznej równań cząstkowych.

Przykład 1.

Zadaniem jest sprowadzić do postaci kanonicznej równanie:

Postępujemy wzorując się na przedstawionym algorytmie. Jest to pierwszy przykład więc będzie on rozwiązywany nieco dokładniej od pozostałych.

1.Obliczamy wyróżnik równania:

2. Określamy typ równania w zależności od wartości obliczonego wyróżnika. Otrzymaliśmy, że wyróżnik jest ujemny i mniejszy od 0 a więc trafiamy w przypadek c) . Oznacza to, że omawiane równanie jest typu eliptycznego.

3.Tworzymy równanie charakterystyczne:

 Obliczamy -tę równania charakterystycznego:

Posiadając wiedzę o równaniach kwadratowych wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego:

 Otrzymujemy, że  < 0 więc trafiliśmy w podpunkt c). Mamy dodatkową informację, że pojawią się tutaj liczby zespolone i rzeczywiście tak jest. Musimy rozwiązać 2 równania różniczkowe. Rozwiążmy je po kolei:

Jest to jedno z najprostszych równań różniczkowych pierwszego rzędu- równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych. Rozdzielamy zmienne:

Całkujemy równanie stronami:

Otrzymujemy, że:

Musimy teraz wyrugować stałą C₁:

Teraz w analogiczny sposób musimy rozwiązać drugie równanie:

Całkujemy równanie stronami:

Otrzymujemy, że:

Musimy teraz wyrugować stałą C₂:

Zbierzmy nasze stałe do kupy:

W schemacie postępowania kolejnym krokiem jest podstawienie:

Napiszmy sobie jeszcze raz nasze podstawienie ?w czystej formie?, bez obliczeń:

Ktoś mógłby mi zarzucić, że jest to zbędne. W następnym podpunkcie czeka nas mnóstwo obliczeń. Zakładam, że obliczenia te będzie wykonywał człowiek a nie komputer, więc jestem zdania iż warto mieć pod ręką wyniki ?w czystej formie?. W przypadku wykonywania skomplikowanych obliczeń przez człowieka bardzo łatwo jest o jakąś pomyłkę. Podczas wyznaczania postaci kanonicznej równania cząstkowego nawet drobna pomyłka (postawienie gdzieś ?+? zamiast ?-") grozi katastrofą i w ostateczności błędnym wynikiem. Jestem zdania, że wszelkie zabiegi z naszej strony, które mają na celu zoptymalizować proces obliczeń są jak najbardziej wskazane. Jeżeli jesteś jednak innego zdania, możesz drogi czytelniku kroki(?zabiegi kosmetyczne? :) ) takie jak ten po prostu pomijać.

4.Obliczamy pochodne cząstkowe:

5.Obliczamy pochodne cząstkowe związane z podstawieniami:

Uporządkujmy otrzymane przez nas pochodne cząstkowe z podstawieniami:

6. Doszliśmy do kroku, w którym wystarczy podstawić otrzymane zależności z punktu 5. do równania wyjściowego jakie jest podane na samym początku zadania. Zrobimy to krok po kroku:

Po uproszczeniu wyrażeń podobnych otrzymamy postać kanoniczną naszego równania wyjściowego:

Możemy jeszcze podzielić obustronnie to równanie przez 4 i w rezultacie otrzymamy:

Przykład 2.

Zadaniem jest sprowadzić do postaci kanonicznej równanie:

1.Obliczamy wyróżnik równania:

2. Określamy typ równania w zależności od wartości obliczonego wyróżnika. Otrzymaliśmy, że wyróżnik jest równy 0 a więc trafiamy w przypadek b).

Oznacza to, że omawiane równanie jest typu parabolicznego.

3.Tworzymy równanie charakterystyczne:

Obliczamy -tę równania charakterystycznego:

Mając podstawową wiedzę na temat równań kwadratowych wiemy, że dla przypadku, gdy = 0, wzór na pierwiastek równania jest:

Jest to jedno z najprostszych równań różniczkowych pierwszego rzędu- równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych. Rozdzielamy zmienne:

Otrzymujemy, że:

Musimy teraz wyrugować stałą C₁:

Podstawiamy

Teraz przyszedł czas na najbardziej kłopotliwą kwestię jaką jest samodzielne dobranie funkcji. Na tym poziomie matematyki zakładam, że czytelnik zna się biegle na algebrze, więc w tym kroku zwyczajnie wymyślimy sobie jakąś prostą funkcje nie opierając się o żadne prawidło. Jedyne co musimy mieć na uwadze, to to, że wymyślona funkcja musi być różna od 0 oraz nie może być taka sama jak . Niech będzie, że:

Pamiętajmy, że Jakobian musi być różny od 0, gdyż mamy na celu dokonanie zamiany nieosobliwej. Taką rzecz można wykonać w pamięci, jednak dla jasności sprawdźmy czy faktycznie Jakobian jest różny od 0:

Jak widać, wymyślona przez nas funkcja spełnia powyższy warunek.

Teraz zbierzmy do kupy nasze podstawienia:

4.Obliczamy pochodne cząstkowe:

5.Obliczamy pochodne cząstkowe związane z podstawieniami:

Uporządkujmy otrzymane przez nas pochodne cząstkowe z podstawieniami:

6. Doszliśmy do kroku, w którym wystarczy podstawić otrzymane zależności z punktu 5. do równania wyjściowego jakie jest podane na samym początku zadania. Zrobimy to krok po kroku:

Po uproszczeniu wyrażeń podobnych otrzymamy postać kanoniczną naszego równania wyjściowego:

Podsumowanie

W przykładach nie pojawił się przypadek, gdzie wyróżnik równania byłby większy od zera. W takim razie oczywistym jest, że należy się wzorować na algorytmie wyznaczania postaci kanonicznej równań cząstkowych, który to przedstawiłem na początku artykułu. Można powiedzieć, że rozwiązanie takiego przykładu byłoby bardzo podobne do rozwiązania przykładu 1.

Czytelniku, gdy będziesz miał do czynienia z zadaniem sprowadzenia równania cząstkowego do postaci kanonicznej, polecam unikać liczenia czegokolwiek w pamięci. Jak można wywnioskować z artykułu podczas wyznaczania pochodnych cząstkowych pojawia się bardzo dużo podobnych do siebie członów, przez co bardzo łatwo jest o pomyłkę. Chciałbym zwrócić uwagę, że nawet najdrobniejsza pomyłka może skutkować błędnym wynikiem. Ręczne wyznaczanie postaci kanonicznej równania cząstkowego wymaga OGROMNEJ dokładności oraz porządku w zapisie. Wniosek jest taki, że ludzie, którzy cechują się dokładnością mają łatwiej podczas rozwiązywania zadań.