Zadanie 1 - Zasada zachowania energii mechanicznej w Polu Grawitacyjnym, centralnym

Dane:
v=\frac{v_{II}}{2}

Szukane:
H=?


Wzory:
- prosty wniosek z zasady zachowania energii mechanicznej – zawsze prawdziwy.
E_{p1}+E_{k1}=E_{p2}+E_{k2}


- energia potencjalna ciała na powierzchni ziemi, mamy do czynienia z oddziaływaniem grawitacyjnym, więc nie możemy zastosować zywczajnego wzoru na energię potencjalną mgh, gdyż g nie jest w polu grawitacyjnym takie samo, zmienia się, stałe jest tylko w przypadku gdy h jest dużo mniejsze od Rz a w tym przypadku tak nie jest.
E_{p1}=-\frac{GMm}{R}



E_{k1}=\frac{mv^2}{2}=\frac{m\frac{v_{II}^{2}}{4}}{2}=\frac{mv^{2}_{II}}{8}
Energia kinetyczna związana z ruchem ciała, którą nadajemy ciału nadając mu prędkość.

E_{p2}=-\frac{GMm}{R+H}
Taką natomiast energię potencjalną będzie miało to ciało gdy wzniesie się na wysokość H liczoną od powierzchni Ziemi.




E_{k2}=0
Natomiast gdy wzniesie się na wysokość H, energia kinetyczna będzie równa zero, gdyż H jest maksymalną – ostateczną wysokością jaką może osiągnąć to ciało.


Stąd:
\frac{mv^{2}_{II}}{8}-\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{R+H}

Dalej to tylko kwestia dobrych przekształceń i podstawień.
Najpierw podzielmy przez minus m (-m).
Otrzymamy:

\frac{GM}{R}-\frac{v^{2}_{II}}{8}=\frac{GM}{R+H}


Wiemy że (można to wyprowadzić z podobnego związku – tyle tylko że Ep2=0 i Ek2=0 lub skorzystać z tablic)


v_{II}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}


Podstawiając, otrzymujemy::
\frac{GM}{R}-\frac{\frac{2GM}{R}}{8}=\frac{GM}{R+H}

Przekształcamy oraz dzielimy przez GM.

Mamy wtedy:
\frac{1}{R}-\frac{1}{4R}=\frac{1}{R+H}





Z czego:

\frac{1}{R+H}=\frac{3}{4R}

Przekształcamy dalej:

3(R+H)= 4R



3H + 3R = 4R


3H=R


H=\frac{R}{3}


Wzniesie się więc na wysokość równą jednej trzeciej części promienia planety (w tym przypadku Ziemi) od jej powierzchni.
Jeżeli są jakieś pytania, proszę pisać w komentarzach.