Elektrostatyka Zadanie 13 - Natężenie Pola i Potencjał wokół nieprzewodzącej naładowanej nici... - Fizyka Dla Każdego

Fizyka

Zadania

Elektrostatyka i Elektrodynamika

Elektrostatyka Zadanie 13 - Natężenie Pola i Potencjał wokół nieprzewodzącej naładowanej nici...

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

Polecane książki

wtorek, 23 listopada 2010 20:36

Elektrostatyka Zadanie 13 - Natężenie Pola i Potencjał wokół nieprzewodzącej naładowanej nici...

Napisał dr inż. Paweł Troka

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Wydrukuj
Email
Comments (1)

Oceń ten artykuł

(4 głosów)

Nieskończenie długa, nieprzewodząca nić naładowana jest równomiernie ładunkiem o gęstości liniowej lambda. Wyznaczyć natężenie pola i potencjał w odległości r od nici w kierunku prostopadłym do nici.

Zobacz rozwiązanie! - kliknij na napis "więcej" znajdujący się poniżej.

Warto rozpatrzeć jak wygląda definicja gęstości liniowej ładunku:

$\lambda =\frac{q}{l}$
Niewiele bezpośrednio nam to jednak da, bez rysunku i bez użycia prawa Gaussa sobie raczej nie poradzimy.

Rysunek Fizyka Zadanie z Elektrostatyki Natężenie Pola Elektrocznego E i Potencjał Elektryczny wokół naładowanej nici

Teraz na podstawie prawa Gaussa możemy wyznaczyć wektor indukcji

$\int_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=\lambda$

Strumień indukcji przenikający przez dwie powierzchnie podstaw walca jest równy zeru, ponieważ wektor D ,jest w tym przypadku do nich styczny zatem na tych powierzchniach

$\vec{D}\cdot d\vec{S}=0$

Wszystkie punkty powierzchni bocznej są jednakowo odległe od naładowanej osi, wobec tego wektor indukcji w każdym punkcie tej powierzchni jest taki sam i równanie początkowe upraszcza się nam do postaci:

$2D\pi rl=\lambda l$

Jak widzimy ?l? się skróci i nie mamy już problemu z nieskończoną długością.
Wiemy też że:

$D=\varepsilon E$

Więc ostatecznie po przekształceniach mamy:

$E=\frac{\lambda }{2\pi r\varepsilon }$

Wyznaczyć potencjał będzie jeszcze trudniej.

Przyda nam się nasz ostateczny wzór na natężenie pola.
Oraz musimy skorzystać ze wzoru który znamy z prawa Gaussa na obliczanie potencjału

$V=\int_{r}^{r_{p}}\vec{E}\cdot d\vec{r}$

Możemy dokonać podstawienia za E:

$V=\int_{r}^{r_{p}}\frac{\lambda }{2\pi r\varepsilon }\cdot dr$

Po wykonaniu całkowania natomiast otrzymujemy:

$V=\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon }\ln r_{p}-\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon }\ln r$

Pierwszy człon po znaku równości to tak naprawdę dowolna stała całkowania, z dokładnością co do której został określony potencjał. Najprościej będzie jak przyjmiemy po prostu ją równą zeru, czyli jednostowe r_p, tzn. że punkt odniesienia znajduje się w odległości od przewodu równej jednostce miary długości.

Po tym uproszczeniu dostajemy ostateczny wzór:

$V=-\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon }\ln r=\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon }\ln \frac{1}{r}$