Ruch jednostajnie przyśpieszony

Zaczniemy od opisania ruchu startującego samolotu. Prześledźmy sytuację: na początku samolot spoczywa, po pierwszej sekundzie może posiadać szybkość 1m/s, w drugiej osiągnie 2m/s, w trzeciej szybkość będzie równa 3m/s. Po minucie może ruszać się z prędkością np. 60m/s.

Nie wygląda to na drgnienie ze stałą prędkością. Mimo to, opisanie go nie stanowi do nas problemu - wystarczy przyjąć nową wielkość, którą bywa przyspieszenie, symbol a. Określać będzie, jeśli zmienia się prędkość. Jeśli w ruchu występuje przyspieszenie, wówczas szybkość v zmienia się w każdej sekundzie o cena a. Dzieląc prędkość, którą uzyskało ciało, poprzez długość trwania ruchu, otrzymamy przyspieszenie:  a=\frac{v}{t}\,.

Oczywiście, nie weźmiemy przypadkowej prędkości - interesuje nas zmiana prędkości w odpowiednim przedziale czasu. Przekładając to na 'wzory', otrzymamy:

a=\frac{_{\Delta}v}{t}

Przykład
Pociąg jadący z prędkością 10m/s poprzez 60 sekund przyspieszał tak, iż osiągnął szybkość 25m/s. Jak tego przyspieszenie posiada się do przyspieszenia samochodu, jaki od 0 do 100km/h rozpędzi się w 14 sekund?

Opiszmy pociąg:

zmiana prędkości i czas:  _{\Delta}v=25-10=15 \,\text{m/s}, \quad t = 60 \,s

obliczmy przyspieszenie:   a = \frac{15}{60}= 0,25

Z jaką jednostką podamy wynik? Według działań: szybkość (m/s) dzieli się poprzez termin (s), z tego również otrzymujemy: \frac{\text{m}}{\text{s}^2}.

Opiszmy samochód:

zmiana prędkości:  _{\Delta}v_s = 100\, \text{km/h} \,= 27,7\, \text{m/s} \qquad - interesują nas wyłącznie [m/s]

czas:  t_s \,= 14 \,\text{s}

przyspieszenie:   a_s = \frac{27,7}{14} = 1,98 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Przyspieszenie pociągu wynosiło 0,25, natomiast przyspieszenie samochodu: mniej więcej 2. Widać wyraźnie, iż samochód przyspieszał znacznie (8 krotnie) szybciej aniżeli pociąg.

• tor bywa linią prostą,
• prędkość rośnie o stałą cena przyspieszenia w każdej sekundzie ruchu.

Przyspieszenie

Przy opisie ruchu podajemy przyspieszenie - aczkolwiek nie wpływa ono bezpośrednio na drgnienie - określa, jeśli zmienia się prędkość. Jest wektorem, podobnie jeśli prędkość. Zawiera więc dodatkowe informacje - kierunek, zwrot. Jeśli zgadzają się z wektorem prędkości, wówczas szybkość rośnie.

Jednak zwrot przyspieszenia może istnieć inny, gdy bywa nieprzychylny aniżeli szybkość - zmniejsza ją, czyli hamuje. Żeby rozróżnić ten ruch, nazywamy go ruchem opóźnionym.

Wzór - postać wektorowa i wykres.

przyspieszenie: \vec a =\frac{_{\Delta} \vec v}{t} \qquad \left [\frac{m}{s^2} \right ]

Przyspieszenie bywa stałe (a = const).

Prędkość
Jeżeli organizm poruszało się poprzez pewien termin z przyspieszeniem a, znajdziemy tego prędkość. Skorzystamy ze wzoru na przyspieszenie i przekształcimy go na wzór opisujący szybkość (zakładamy, iż przed ruchem szybkość była 0):

prędkość:  \vec v =\vec a \cdot _{\Delta}t \qquad v = at

Fragment wykresu prędkości od czasu, v rośnie proporcjonalnie do t.

Droga
W ruchu pojawiło się przyspieszenie, a szybkość stale rośnie - jeśli to wpływa na przebytą drogę? Wyobraźmy sobie - w pierwszej sekundzie szybkość wynosi 1m/s. Jednak po 5 sekundach może wzrosnąć do 10m/s. Oznacza to, iż po pewnym czasie (gdy szybkość wzrośnie) poprzez 1 sekundę pokonamy więcej drogi aniżeli poprzednio (przy małej prędkości). Musimy zapomnieć o wzorze z ruchu jednostajnego, nie potrafi on opisać tego ruchu. Okazuje się, iż trasa rośnie kwadratowo względem czasu, wzór:

droga: s= \frac{a\cdot t^2}{2}

Przy odrobinie wysiłku, możemy ten wzór obliczyć, robią to jednocześcnie studenci, choć zrezygnujemy z tego.

Czasami opisujemy ruch, w którym organizm zaczyna z pewną prędkością początkową, nadobowiązkowo znajdując się w pewnej odległości od miejsca, od którego mierzymy drogę. Dane te możemy uwzględnić we wzorze, tzn. zsumujemy drogę początkową, namowa prędkości początkowej i dotychczasowy wzór na drogę:

s = s_0+v_0t+\frac{a t^2}{2}

przebyta trasa  =  trasa początk. + namowa prędkości początk. + trasa przebyta 'z przyspieszenia'

Droga rośnie 'kwadratowo' względem czasu.

Ruch opóźniony

Mówimy, iż drgnienie bywa opóźniony, gdy przyspieszenie skierowane bywa przeciwnie aniżeli prędkość. Prędkość początkowa v₀ maleje, bywa zmniejszana z powodu przyspieszenia. Wektor bywa przeciwnie skierowany, a wiemy, iż dodanie przeciwnego wektora wiąże się z postawieniem przy nim minusa:

\vec v = \vec v_0 + \vec a \cdot _{\Delta}t \qquad - w tutejszym lokalizacji występuje dodawanie przeciwnych wektorów \vec v_0 \;\; \text{i} \;\; \vec a

bez wektorów:

v = v_0 + (-a)\cdot t \qquad - \,\vec a bywa przeciwne do ruchu, co skutkuje minusem

podobne rozumowanie do wzoru na drogę:

s= v_0t + \frac{-a\cdot t^2}{2}

Nie stworzyliśmy nowych wzorów, a jedynie wprowadziliśmy poprawkę do poprzednich (w ruchu opóźnionym przyspieszenie bywa przeciwnie skierowane, dlatego wstawiamy minus; nadobowiązkowo zawsze występuje szybkość początkowa).

Ciało osiąga szybkość równą zero (zatrzymuje się) po czasie t_k, tzn. w chwili końca ruchu.

Czas zatrzymania się
Ciało z przyspieszeniem przeciwnym do kierunku ruchu zaczyna zwalniać, do momentu zatrzymania. Jeśli interesuje nas, gdy organizm się zatrzyma, wystarczy iż przekształcimy wzór na szybkość (uwzględniając, iż w takiej chwili zatrzymane organizm posiada szybkość v=0):

v=0\;

\vec v=\vec v_0 + \vec a t

wektor a posiada nieprzychylny zwrot, zmienia się znak:

v = v_0 - at\;

0 = v_0-a t_k \quad \Rightarrow \quad v_0 = a t_k \quad \Rightarrow \quad t_k = \frac{v_0}{a}

Dodatkowe wzory

Jeśli ze wzoru

v = v_{0} + at\,

wyznaczymy t i podstawimy do czasu w równaniu

s = v_0t+\frac{a t^2}{2} ,

to po przekształceniach otrzymamy tak zwane równanie bez czasu:

v^{2} - v_{0}^{2} = 2as

Wzór ten znajduje zastosowanie w obu ruchach - przyspieszonym i opóźnionym. W ruchu opóźnionym szybkość końcowa bywa mniejsza od początkowej, co sprawi, iż lewa strona równania będzie ujemna (tym samym jednocześcnie prawa), co oznacza, iż z prawej strony ujemne będzie przyspieszenie, a więc drgnienie będzie opóźniony.

Wzór ten możemy wykorzystać do wyprowadzenia kolejnego. Wyznaczmy więc s:

s\, =\frac {v^{2} - v_{0}^{2}}{2a}

Jest on prawdziwy do ruchu przyspieszonego z prędkością początkową. W ruchu przyspieszonym bez prędkości początkowej (v_{0}\,=0) wzór przyjmuje postać:

s\, =\frac {v^{2}}{2a}

Podobnie w ruchu opóźnionym, w którym szybkość końcowa równa bywa zero, podstawienie zera uprości wzór do jednej prędkości (jak powyżej).

Zadania

Zad. 1 (przyspieszenie) Pocisk wystrzelony z karabinu porusza się z przyspieszeniem 500 km/s² i prędkością początkową 800m/s. Oblicz, jaką przebędzie odległość w ciągu 0,1 sekundy.

dane

v_0 = 800 \,m/s \,

a \,= 500 \,km/s^2 = 500 000 \,m/s^2 \quad-zamiana na jednostki podstawowe

t \,= 0,1 \,s

rozwiązanie

Odległość policzymy ze wzoru na drogę; pocisk miał aczkolwiek szybkość początkową, którą również uwzględniamy:

s \,= v_0t + \frac{at^2}{2}

s \,= 800 \cdot 0,1 + \frac{500 000 \cdot 0,01}{2} = 2580 \,m

Wykonajmy nadobowiązkowo obliczenia na jednostkach, w celu sprawdzenia:

szkic:   \left [\tfrac{m}{s} \right ] \cdot [s] + \frac{\left [\tfrac{m}{s^2} \cdot s^2 \right ]}{[-]} \;=\; [m] + [m] = [m]