Ruch jednostajnie przyśpieszony

Zaczniemy od opisania ruchu startującego samolotu. Prześledźmy sytuację: na początku samolot spoczywa, po pierwszej sekundzie może posiadać szybkość 1m/s, w drugiej osiągnie 2m/s, w trzeciej szybkość będzie równa 3m/s. Po minucie może ruszać się z prędkością np. 60m/s.

Nie wygląda to na drgnienie ze stałą prędkością. Mimo to, opisanie go nie stanowi do nas problemu - wystarczy przyjąć nową wielkość, którą bywa przyspieszenie, symbol a. Określać będzie, jeśli zmienia się prędkość. Jeśli w ruchu występuje przyspieszenie, wówczas szybkość v zmienia się w każdej sekundzie o cena a. Dzieląc prędkość, którą uzyskało ciało, poprzez długość trwania ruchu, otrzymamy przyspieszenie:  .

Oczywiście, nie weźmiemy przypadkowej prędkości - interesuje nas zmiana prędkości w odpowiednim przedziale czasu. Przekładając to na 'wzory', otrzymamy:

Przykład
Pociąg jadący z prędkością 10m/s poprzez 60 sekund przyspieszał tak, iż osiągnął szybkość 25m/s. Jak tego przyspieszenie posiada się do przyspieszenia samochodu, jaki od 0 do 100km/h rozpędzi się w 14 sekund?

Opiszmy pociąg:

zmiana prędkości i czas:  

obliczmy przyspieszenie:  

Z jaką jednostką podamy wynik? Według działań: szybkość (m/s) dzieli się poprzez termin (s), z tego również otrzymujemy: .

Opiszmy samochód:

zmiana prędkości:   interesują nas wyłącznie [m/s]

czas:  

przyspieszenie:  

Przyspieszenie pociągu wynosiło 0,25, natomiast przyspieszenie samochodu: mniej więcej 2. Widać wyraźnie, iż samochód przyspieszał znacznie (8 krotnie) szybciej aniżeli pociąg.

• tor bywa linią prostą,
• prędkość rośnie o stałą cena przyspieszenia w każdej sekundzie ruchu.

Przyspieszenie

Przy opisie ruchu podajemy przyspieszenie - aczkolwiek nie wpływa ono bezpośrednio na drgnienie - określa, jeśli zmienia się prędkość. Jest wektorem, podobnie jeśli prędkość. Zawiera więc dodatkowe informacje - kierunek, zwrot. Jeśli zgadzają się z wektorem prędkości, wówczas szybkość rośnie.

Jednak zwrot przyspieszenia może istnieć inny, gdy bywa nieprzychylny aniżeli szybkość - zmniejsza ją, czyli hamuje. Żeby rozróżnić ten ruch, nazywamy go ruchem opóźnionym.

Wzór - postać wektorowa i wykres.

przyspieszenie:

Przyspieszenie bywa stałe (a = const).

Prędkość
Jeżeli organizm poruszało się poprzez pewien termin z przyspieszeniem a, znajdziemy tego prędkość. Skorzystamy ze wzoru na przyspieszenie i przekształcimy go na wzór opisujący szybkość (zakładamy, iż przed ruchem szybkość była 0):

prędkość:  

Fragment wykresu prędkości od czasu, v rośnie proporcjonalnie do t.

Droga
W ruchu pojawiło się przyspieszenie, a szybkość stale rośnie - jeśli to wpływa na przebytą drogę? Wyobraźmy sobie - w pierwszej sekundzie szybkość wynosi 1m/s. Jednak po 5 sekundach może wzrosnąć do 10m/s. Oznacza to, iż po pewnym czasie (gdy szybkość wzrośnie) poprzez 1 sekundę pokonamy więcej drogi aniżeli poprzednio (przy małej prędkości). Musimy zapomnieć o wzorze z ruchu jednostajnego, nie potrafi on opisać tego ruchu. Okazuje się, iż trasa rośnie kwadratowo względem czasu, wzór:

droga:

Przy odrobinie wysiłku, możemy ten wzór obliczyć, robią to jednocześcnie studenci, choć zrezygnujemy z tego.

Czasami opisujemy ruch, w którym organizm zaczyna z pewną prędkością początkową, nadobowiązkowo znajdując się w pewnej odległości od miejsca, od którego mierzymy drogę. Dane te możemy uwzględnić we wzorze, tzn. zsumujemy drogę początkową, namowa prędkości początkowej i dotychczasowy wzór na drogę:

przebyta trasa  =  trasa początk. + namowa prędkości początk. + trasa przebyta 'z przyspieszenia'

Droga rośnie 'kwadratowo' względem czasu.

Ruch opóźniony

Mówimy, iż drgnienie bywa opóźniony, gdy przyspieszenie skierowane bywa przeciwnie aniżeli prędkość. Prędkość początkowa v₀ maleje, bywa zmniejszana z powodu przyspieszenia. Wektor bywa przeciwnie skierowany, a wiemy, iż dodanie przeciwnego wektora wiąże się z postawieniem przy nim minusa:

w tutejszym lokalizacji występuje dodawanie przeciwnych wektorów

bez wektorów:

bywa przeciwne do ruchu, co skutkuje minusem

podobne rozumowanie do wzoru na drogę:

Nie stworzyliśmy nowych wzorów, a jedynie wprowadziliśmy poprawkę do poprzednich (w ruchu opóźnionym przyspieszenie bywa przeciwnie skierowane, dlatego wstawiamy minus; nadobowiązkowo zawsze występuje szybkość początkowa).

Ciało osiąga szybkość równą zero (zatrzymuje się) po czasie t_k, tzn. w chwili końca ruchu.

Czas zatrzymania się
Ciało z przyspieszeniem przeciwnym do kierunku ruchu zaczyna zwalniać, do momentu zatrzymania. Jeśli interesuje nas, gdy organizm się zatrzyma, wystarczy iż przekształcimy wzór na szybkość (uwzględniając, iż w takiej chwili zatrzymane organizm posiada szybkość v=0):

wektor a posiada nieprzychylny zwrot, zmienia się znak:

Dodatkowe wzory

Jeśli ze wzoru

wyznaczymy t i podstawimy do czasu w równaniu

,

to po przekształceniach otrzymamy tak zwane równanie bez czasu:

Wzór ten znajduje zastosowanie w obu ruchach - przyspieszonym i opóźnionym. W ruchu opóźnionym szybkość końcowa bywa mniejsza od początkowej, co sprawi, iż lewa strona równania będzie ujemna (tym samym jednocześcnie prawa), co oznacza, iż z prawej strony ujemne będzie przyspieszenie, a więc drgnienie będzie opóźniony.

Wzór ten możemy wykorzystać do wyprowadzenia kolejnego. Wyznaczmy więc s:

Jest on prawdziwy do ruchu przyspieszonego z prędkością początkową. W ruchu przyspieszonym bez prędkości początkowej () wzór przyjmuje postać:

Podobnie w ruchu opóźnionym, w którym szybkość końcowa równa bywa zero, podstawienie zera uprości wzór do jednej prędkości (jak powyżej).

Zadania

Zad. 1 (przyspieszenie) Pocisk wystrzelony z karabinu porusza się z przyspieszeniem 500 km/s² i prędkością początkową 800m/s. Oblicz, jaką przebędzie odległość w ciągu 0,1 sekundy.

dane

zamiana na jednostki podstawowe

rozwiązanie

Odległość policzymy ze wzoru na drogę; pocisk miał aczkolwiek szybkość początkową, którą również uwzględniamy:

Wykonajmy nadobowiązkowo obliczenia na jednostkach, w celu sprawdzenia:

szkic:   

• Tor ruchu jest linią prostą.
• Szybkość tego ruchu w każdym tego momencie bywa stała.

We wszystkich obliczeniach związanych z takim ruchem będziemy używać jednego wzoru: (postać wektorowa i 'uproszczona')

Oznaczenia: s - droga,  r - wektor drogi,  t -czas.

UWAGA! Należy zaznaczyć, że pojęcie prędkość odnosi się do wektora, zaś pojęcie szybkości związane jest ze skalarem - wartością predkości.

Przyda się rozumieć - po co bywa i czemu tak bywa przedstawiona wersja wektorowa - tak naprawdę jest to definicja prędkości. Zapisaliśmy w niej dwa wektory - prędkości i przemieszczenia. Widzimy, że kierunek i zwrot wektora prędkości bywa ten sam co przemieszczenia. Jest to więc dodatkowa (choć intuicyjna) do nas informacja. Tak więc, dzięki zapisowi wektorowemu wiemy, jak znaleźć  wektor prędkości jeśli odnajdziemy jej kierunek ze zwrotem.

W większości zadań z ruchem jednostajnym prostoliniowym możemy pomijać wzmiankę o kierunku i zwrocie prędkości, skoro się nie zmieniają. Dlatego - do łatwości posługiwania się - będziemy używać zwykłej formy bez wektorów, .

Ponadto, wzór możemy rozszerzyć do zapisu:

Znowu ukryta bywa tu dodatkowa informacja. Jaka? Delta ? oznacza zmianę lub przyrost. Co to może zmienić w naszych obliczeniach? W pewnych zadaniach nie możemy postawić każdego napotkanego czasu, a wyłącznie konkretny przedział - w którym drgnienie się odbywa. Podobnie z drogą, bierzemy pod uwagę odcinek, do którego obliczamy prędkość.

Przyjrzyjmy się zadaniu o treści:
"Jadący samochód znajdował się o godz. 10.00 w odległości 10km od stacji benzynowej. Jadąc w tutejszym samym kierunku, o godzinie 11.00 oddalił się już na odległość 15km od stacji. Oblicz szybkość w tutejszym ruchu." Jak powinniśmy interpretować te dane?
Zgodnie z poprzednimi zaleceniami, bierzemy zmianę drogi - samochód przebył 5 km. Trwało to 1 godzinę, bo o tyle zmienił się czas. Nie bywa to wymyślone, a zawiera się w naszym wzorze - wyrażenie zmienić się bywa symbolizowane u nas poprzez deltę.

Wykres prędkości, tzn. zależność prędkości od czasu:

Prędkość bywa stała (v = const).

Równanie i wykres drogi

Ciało w naszym ruchu przebywa pewną drogę, którą możemy policzyć z odpowiedniego wzoru. Przekształcając wzór na szybkość otrzymamy:

W niektórych przypadkach, zamiast o drodze - mówimy o położeniu ciała. Z reguły dowiadujemy się, iż organizm to znajdowało się początkowo w odległości x₀, po czym poruszało się z prędkością v poprzez termin t.  Znając te wielkości, możemy podać, w jakiej odległości (od jakiegoś miejsca) organizm znajduje się po wykonaniu ruchu - obliczamy, jaką drogę pokonało i dodamy początkową odległość. Można to oczywiście zobrazować wzorem: (dla rozróżnienia, drogę zamienimy takim łącznie na x - położenie)

Drogę i położenie możemy używać zamiennie - dają nam przecież tę samą informację, tzn. o jaką odległość przemieściło się ciało.

Na wykresie przedstawimy, jeśli zmienia się położenie ciała w kolejnych sekundach ruchu (wiąże się to oczywiście ze wzorem v=s/t).

Położenie ciała bywa proporcjonalne do czasu (x ~ t).

Zadania

Fizyka uczy, jak pojmować zachodzące wokół nas zjawiska. Rozwiązując zadania dotyczące takich zjawisk, możemy uporządkować naszą wiedzę.

Zad.1 (odległość)

Z miejscowości A jedzie motor z szybkością v₁=20 m/s. W chwili, gdy znajduje się w odległości x₀=5 km od A, na tę samą trasę wjeżdża samochód z szybkością v₂=90 km/h. Po jakim czasie i w jakiej odległości od A oba pojazdy się spotkają?

dane

Oba pojazdy jadą pewną drogą, wiemy, iż w określonej chwili motor był w odległości 5km od startu, w którym znajdował się jadący samochód. Jednostka bywa niepoprawna, zamieniamy na metry.

motor:   x_m0=5000m

samochód:   x_s0 = 0m

Prędkości obu pojazdów z poprawną jednostką (1 km/h = 1000m/3600s).

v₁ = 20 m/s

v₂ = 90 km/h = 90 (1000m/3600s) = 90000/3600 m/s = 25 m/s

rozwiązanie

Potrzebny nam wzór:

Podstawiamy dane (odległość początkowa, szybkość i nieznany termin ruchu t) do motocykla i samochodu, uzyskując równania:

motocykl:   x = 5000 + 20 t

samochód:   x = 0 + 25 t

Czas t bywa ten sam do obu pojazdów, skoro liczymy go od konkretnej chwili do momentu ich spotkania.

Wiemy też, iż spotkają się w tej samej odległości xod miejscowości A. Skoro te wielkości są równe, to zapiszemy:

5000 + 20 t = 0 + 25t

5000 = 5t

t = 1000

Trzymaliśmy się podstawowych jednostek, dlatego po obliczeniach jednostką t są sekundy. Podstawiamy t i obliczamy x.

x = 5000 + 20 t

x = 5000 + 20000 = 25000m

odp.

Samochód i motocykl spotkają się w odległości 25000 metrów po czasie 1000 sekund.

Zad.2 (średnia szybkość)

Samochód przejechał trasę pomiędzy dwoma miastami. Pierwsze 20km poruszał się z szybkością 36km/h, a kolejne 40km z szybkością 40 m/s. Oblicz średnią szybkość samochodu.

dane

s₁=20000 m,    s₂=40000 m

v₁= 36 (1000m/3600s) = 10 m/s,    v₂ = 40 m/s

rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru   s = v t.   Nie wiemy, ile czasu poruszał się z podanymi szybkościami.

20000 = 10 t₁ t₁=2000 s

40000 = 40 t₂ t₂=1000 s

Do policzenia średniej prędkości potrzebna nam bywa cała długość trasy i całkowity czas:

v_śr = s/t

s = s₁ + s₂ = 60000 m

t = t₁ + t₂ = 3000 s

v_śr = s/t = 20 m/s

odp.

Średnia szybkość wynosiła 20 m/s.

Zad.3 R (względna prędkość)

Dwa samochody poruszają się do tego samego punktu. Wektory ich prędkości są prostopadłe i posiadają wartości adekwatnie 30 km/h i 40 km/h. Oblicz ich względną prędkość.

dane

Jednostki zostają (nie będziemy w zadaniu przeprowadzać działań na jednostkach).

v₁=30 km/h,     v₂=40 km/h

rozwiązanie

Obliczyć musimy względną prędkość, czyli:

Co nie bywa trywialne, bo wektory posiadają różne kierunki. Wynikiem będzie trzeci wektor v, pokazany na rysunku (korzystamy z geometrycznego dodawania wektorów).

 

Aby policzyć cena uzyskanego wektora v, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

30² + 40² = v²

v² = 2500

v = 50 km/h

odp.

Względna szybkość posiada cena 50 km/h.

Ciekawostki

Bo fizyką trzeba się bawić.

Porównajmy niektóre szybkości:

• jadący samochód: ok. 15-30 m/s
• szybkość dźwięku w powietrzu: ok. 340 m/s
• samolot Concorde: do 600 m/s
• Księżyc wokół Ziemi: ok. 1000 m/s
• pierwsza szybkość kosmiczna: ok. 7910 m/s  (prędkość na orbicie okołoziemskiej)
• trzecia szybkość kosmiczna: ok. 16700 m/s  (aby potrafić opuścić Układ Słoneczny)
• prędkość fal, światła: ok. 300000000 m/s

Według teorii A. Einsteina, szybkość światła bywa prędkością graniczną i nie możemy jej przekroczyć. Co więcej, gdy organizm porusza się prędkością zbliżoną do niej, tego masa się zmienia, a termin zaczyna cieknąć oryginalnie aniżeli w otoczeniu...

Wzory

Ile wzorów trzeba zapamiętać, żeby umieć opisać ruch jednostajny prostoliniowy? Pokażemy, iż żadnego.

Szybkość średnia

Wzorem bywa  v=s/t.  Wystarczy aczkolwiek przypomnieć sobie jednostkę - km/h lub m/s. Podstawmy słowny opis: trasa / czas - i już mamy wzór na prędkość, którego nie trzeba zapamiętywać.

Droga

Wzór w zrozumiały metoda wyprowadzamy ze wzoru na prędkość. (Można sprawdzić poprawność dzięki działaniom na jednostkach: m = m/s s, czyli droga=prędk czas)

Czas

Wzór jednocześnie wyprowadzamy ze wzoru na prędkość.

Można wspomnieć o przyspieszeniu - aczkolwiek posiada ono wartość zero, dlatego pojawia się dopiero w następnym rozdziale. To wszystko z ruchu jednostajnego.

Kinematyka ? dział mechaniki zajmujący się opisywaniem ruchów ciał; pomijając same przyczyny tych ruchów (np. siły).

Ruch

Ruch bywa wysoce powszechnym zjawiskiem, dlatego warto zapoczątkować od poznania sposobów tego opisu. Aby mówić, iż organizm się porusza, musimy odnaleźć do niego punkt odniesienia. Jadący samochód porusza się względem Ziemi i względem samolotu, choć z inną prędkością. Co więcej, jadące obok niego, z tą samą prędkością, auto już się względem niego nie porusza. To dowodzi, iż ruch bywa względny.

Przykład

Na rzece płyną dwa kajaki. Jeden z nich płynie zgodnie z jej nurtem, drugi w przeciwnym kierunku. Zakładamy, iż wioślarze pracują w tutejszym samym tempie, tzn. tak samo napędzają swoje kajaki. W takim razie, kajaki poruszają się z tą samą prędkością względem płynącej wody.

Jak na ten drgnienie wpływa nurt rzeki? Dla zewnętrznego obserwatora okaże się, iż jeden kajak płynie znacznie szybciej, podczas gdy drugi ledwo się przemieszcza. Kajaki poruszają się tak samo względem wody, czy również np. względem płynącej w dół rzeki belki. Jednak względem Ziemi drgnienie kajaków bywa różny - jeden kajak zostaje 'przyspieszony', drugi 'spowolniony' poprzez działanie nurtu rzeki.

Widać, iż prędkości kajaków będą opisane oryginalnie względem płynącej wody, a oryginalnie względem Ziemi (i, oczywiście, oryginalnie względem ich samych nawzajem).

Układ odniesienia

W poprzednim przykładzie rozróżnialiśmy dwa układy odniesienia - płynącą wodę i Ziemię. Widać było, iż ten sam drgnienie bywa opisany oryginalnie w każdym z nich.

Człowiek stojący na Ziemi nie porusza się względem niej. Jednak nie oznacza to, iż w ogóle się nie porusza - wystarczy zmienić układ odniesienia, i już możemy powiedzieć, iż porusza się on względem Słońca, czy względem innej galaktyki. Jeśli obierzemy samochód za układ odniesienia, pasażerowie się nie poruszają, choć budynki na ulicy już tak. Nie możemy powiedzieć, iż budynki 'stoją w miejscu' lub iż spoczywają - a jedynie, iż spoczywają względem Ziemi.

Na wykresach za układ odniesienia służy nam układ 2 osi X i Y.

Droga i przemieszczenie

Tor

Ślad jaki zostawia po sobie poruszający się obiekt.

Droga

Czyli długość toru, po jakim organizm się poruszało. Jest określone poprzez równanie toru - wzór związany od kształtu toru (odcinek, łuk, parabola itd).

Przemieszczenie

Jeśli połączymy początkowy i docelowy punkt drogi, którą przebyło ciało, otrzymamy wektor przesunięcia (przemieszczenia) ciała. Inaczej mówiąc bywa to zmiana położenia.

Położenie

Usytuowanie obiektu względem układu odniesienia, którym mogą istnieć inne obiekty. Położenie obiektu możemy określić za pomocą układu współrzędnych.

Przyjrzymy się ruchowi dziecka na karuzeli. Załóżmy, iż karuzela wykonała pełny obrót - wówczas położenie końcowe dziecka pokrywa się z początkowym. Dziecko pokonało pewną drogę, aczkolwiek wektor przesunięcia bywa zerowy.

Będziemy ich używać intuicyjnie, możemy powiedzieć - nieświadomie. Droga posłuży nam w obliczeniach, dokąd używamy wartości przebytej drogi. Przemieszczenia natomiast użyjemy, gdy będziemy potrzebowali graficznego opisu drogi - te informacje zawiera wektor przemieszczenia.

Możemy jednocześcnie wyróżnić wielkość: położenie ciała w ruchu - bywa to po prostu odległość ciała od tego położenia początkowego.

Prędkość

Opisuje, jeśli prędko porusza się organizm - czyli jaką drogę pokonuje w określonym czasie. Taki również bywa wzór: cena prędkości = trasa / czas. Działania na jednostkach są analogiczne, jednostką podstawową bywa m/s.

Pociąg, jaki przebył odległość 400m w czasie 20s poruszał się z prędkością 20m/s. Jednak, gdyby zatrzymał się i ruszył w przeciwnym kierunku znów z prędkością 20m/s, jeśli byśmy ją opisali? Jej cena bywa taka sama, aczkolwiek skierowana bywa w przeciwnym kierunku.

Podsumowując, gdy drgnienie bywa skomplikowany, potrzebujemy działań na wektorach, użyjemy wektora prędkości (aby zważać kierunek i zwrot). W obliczeniach używać będziemy samej wartości. Dla ułatwienia, prostsze ruchy jednocześcnie opisywać będziemy jedynie wartościami (skalarami).

W praktyce organizm porusza się ruchem niejednostajnym - raz zwalnia, raz przyspiesza. Prędkość policzona ze wzoru będzie mało dokładna. Możemy przyjąć, iż cały termin opisywana szybkość to prędkość średnia. Wyróżniamy jednocześcnie prędkość chwilową - bywa to szybkość zmierzona w wysoce krótkim czasie, poprzez co dość drobiazgowo odzwierciedla drgnienie w konkretnej chwili.

Czasem rozróżnia się szybkość i szybkość - ta pierwsza bywa używana jako wektor, natomiast szybkość jako cena skalarna.

Prędkość względna

Obliczenia na prędkościach dwóch ciał w celu policzenia ich prędkości względnej.

Prosta reguła:

• Jeśli ciała poruszają się w tę samą stronę, prędkości odejmujemy (jadące w jedną stronę samochody z prędkościami 80km/h i 60km/h, jeden od drugiego oddala się z prędkością 20km/h)
• Jeśli ciała poruszają się naprzeciw siebie, prędkośći dodajemy (jadące naprzeciw siebie samochody o prędkościach 80 i 60 km/h - posiadają szybkość względną 140km/h)

Rozwinięcie
Precyzyjniej szybkość względną możemy obliczyć z wektorów (np. gdy 2 ciała poruszają się względem siebie pod pewnym kątem). Jest to po prostu odmienność wektorów prędkości. Pewna trudność ukazuje się aczkolwiek w liczeniu różnicy wektorów.

Jeżeli dodajemy lub odejmujemy wektory, nie możemy tego zrobić bezpośrednio - gdy ich kierunki się nie pokrywają, sięgamy po funkcje trygonometryczne. Więcej szczegółów możemy odnaleźć w zadaniach rozszerzonych.

Rodzaje ruchu

Rodzaj ruchu rozróżniamy ze względu na forma tego toru i metoda zmiany prędkości.

Ruch może być:

• prostoliniowy (wzdłuż prostej)
• krzywoliniowy (np. drgnienie po okręgu)

Oraz, w zależności od prędkości:

• jednostajny (prędkość nie zmienia się)
• jednostajnie zmienny: przyspieszony lub opóźniony (prędkość zmienia się o stałą wartość)
• niejednostajnie zmienny (prędkość zmienia się o różne wartości)

Przykład

Cząstką alfa porusza się w próżni po okręgu o promieniu R=5cm w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B=2,5 * 10^-2 T.
Obliczyć długość fali materii odpowiadającą tej cząstce.

Zobacz rozwiązanie! - kliknij na napis "więcej" znajdujący się poniżej.

Laser CO2, charakteryzuje się bardzo dużą mocą.
Emituje światło podczerwone o długości fali lambda=10mikrometrów
Oblicz, ile fotonów na sekundę emituje laser CO2 o mocy P=1kW

Zobacz rozwiązanie! - kliknij na napis "więcej" znajdujący się poniżej.