Zadanie 3 - Pole Grawitacyjne - orbita geostacjonarna - Fizyka Dla Każdego

Fizyka

Zadania

Grawitacja

Zadanie 3 - Pole Grawitacyjne - orbita geostacjonarna

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

Polecane książki

sobota, 26 marca 2011 00:37

Zadanie 3 - Pole Grawitacyjne - orbita geostacjonarna

Napisał dr inż. Paweł Troka

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Wydrukuj
Email
Comments (2)

Oceń ten artykuł

(6 głosów)

Obliczyć odległość orbity geostacjonarnej od powierzchni Ziemi.

Kliknij "więcej" aby zobaczyć rozwiązanie!

Orbita geostacjonarna a więc taka na jakiej ciało będzie się znajdować cały czas nad tym samym miejscem nad powierzchnią Ziemi.

Muszą być spełnione warunki:

$T=T_{Ziemi}=24h=86400s$

A więc okres obiegu tego ciała musi być równy okresowi obiegu Ziemi - jednej dobie.

Oraz:

$F_{d}=F_{g}$

A więc siła odśrodkowa działająca na obracające się po orbicie geostacjonarnej ciało musi być równa sile grawitacji. Rozpisując ten warunek mamy:

$\frac{mv^2}{R}=G\frac{Mm}{R^2}$

Gdzie R jest promieniem orbity geostacjonarnej a więc jest równy sumie długości promienia Ziemi ?Rz? i wysokości ?H? ? która jest odległością orbity geostacjonarnej od powierzchni Ziemi i jednocześnie to właśnie ją mamy policzyć. Zapisać więc można:

$R=R_{z}+H$

Dodatkowo musimy wiedzieć też coś o prędkości z jaką porusza się na orbicie geostacjonarnej dowolne ciało, dzięki temu, że znamy okres obiegu, zadanie stanie się teraz w pełni wykonywalne.

$v=\frac{2\pi R}{T}$

Mamy szereg wniosków, teraz wystarczy dokonać prostych przekształceń.

Zaczniemy od równowagi sił, bo to dla nas najważniejsze równanie, dzielimy je przez masę ?m? i jednocześnie mnożymy przez promień orbity geostacjonarnej ?R?. Otrzymujemy:

$v^2=\frac{GM}{R}$
Podstawiamy za v.

Czyli otrzymujemy:

$\frac{4 {\pi}^2 R^2}{T^2}=\frac{GM}{R}$

Wypada trochę poprzekształcać, otrzymujemy:

$4 {\pi}^2 R^3=GMT^2$

Przekształćmy tak, aby otrzymać R, otrzymujemy:

$R=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}$

Teraz warto podstawić za R.

$R_{z}+H=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}$

I przekształcić tak aby otrzymać wysokość ?H? ? czyli odległość orbity geostacjonarnej od powierzchni Ziemi ? szukaną wartość. Warto wstawić również M=Mz czyli masa planety której orbita geostacjonarna jest rozpatrywana jest równa masie Ziemi, gdyż planeta ta jest Ziemią jak wynika z treści zadania.

Ostatecznie otrzymujemy:

$H=\sqrt[3]{\frac{GM_{z}T^2}{4 {\pi}^2 }} \; \; ? \; R _{z}$

Standardowo, jeżeli są jakieś pytania prosimy o komentarze.