Dynamika - Zasady Dynamiki Newtona - zadanie 2

Dane:
m=200kg

\alpha = 30^{\circ}

a = 3m

c = 2m

Najważniejszy jest rysunek, korzystamy z geometrycznych zależności między siłami na rysunku.



Jak widzimy na rysunku stosunek siły odśrodkowej do ciężaru pasażera wraz z krzesełkiem jest równy tangensowi kąta odchylenia od pionu łańcuchów.
Możemy tę zależność zapisać matematycznie:

\frac{F_d}{Q}=\tan \alpha

Prekształcamy powyższe równanie do najprostszej postaci:

\frac{mv^2}{r}=mg\tan \alpha

v^2=r g\tan \alpha

Znając zależność między prędkością kątową a liniową oraz wzór na prędkość kątową oba podane poniżej, możemy z powyższego równania wyprowadzić wielkość pożądaną - częstotliwość obrotu

v=\omega r

\omega=2\pi f

Podstawiamy:
(\omega r)^2=r g\tan \alpha

(2\pi f r)^2=r g\tan \alpha

4\pi^2 f^2 r^2=r g\tan \alpha

f^2= \frac{g\tan \alpha}{4\pi^2 r}

f=\sqrt{ \frac{g\tan \alpha}{4\pi^2 r} }

Pojawia się tylko jeszcze jeden problem, nie mamy r (promienia ruchu kątowego), na szczęście znowu pomaga nam geometria rysunku, wystarczy zauważyć, że rysunek tworzy równoległobok prostokątny którego górna podstawa to odległość punktu zawieszenia łańcuchów od osi obrotu (3m) natomiast ramie jest długości łańcucha (2m) a podstawa dolna to wielkość r którą musimy wyznaczyć.

Korzystając z własności równoległoboku oraz funkcji trygonometrycznych możemy rozpisać wyrażenie na r:

r=a+ c\cdot \sin\alpha

Oraz wyznaczyć r jako wartość:
r=3m+ 2m \cdot \sin 30^{\circ}=4m

Wreszcie mając wszystkie wielkości podstawiamy do wzoru na częstotliwość i dostajemy wynik:

f=\sqrt{ \frac{9.80665\frac{m}{s^2} \tan 30^{\circ}}{4\pi^2 \cdot 4m} }


Pozostało nam jeszcze wyznaczyć masę, o dziwo okazuje się, że znowu najlepiej jest skorzystać z geometri rysunku.
Wiemy, że siła którą musi wytrzymać łańcuch to tak naprawdę naciąg łańcucha, można go wyznaczyć jako wypadkową siły odśrodkowej i ciężaru twierdzeniem pitagorasa.
Ale łatwiej będzie skorzystać z funkcji trygonometrycznych i wyznaczyć go z zależności między naciągem a ciężarem.

\frac{Q}{N}=\cos \alpha

N=\frac{Q}{\cos \alpha}

Ostatecznie:
N=\frac{mg}{\cos \alpha}


Wynik:
N=\frac{200kg \cdot 9.80665\frac{m}{s^2}}{\cos 30^{\circ}}