Rzut pionowy, rzut poziomy, rzut ukośny - definicje, twierdzenia, wzory

W dalszych rozważaniach pomijamy opór powietrza. Rozpatrujemy niewielkie odległości blisko powierzchni Ziemi, pomijając jej krzywiznę i wpływ obrotu. Ciało traktujemy jak punkt materialny. Symbol g oznacza dodatnią wartość przyspieszenia; znaki we wzorach zależą od przyjętego zwrotu osi.

Spadek swobodny

Spadek ciała wypuszczonego z bezruchu możemy opisać jako ruch jednostajnie przyspieszony. Wartość przyspieszenia wynosi a=g, a szybkość rośnie zgodnie ze wzorem v=at, czyli:

\displaystyle v=gt.

Przez H oznaczmy wysokość początkową, a przez h — wysokość, na której ciało znajduje się w danej chwili. Droga przebyta od chwili wypuszczenia nie jest tym samym co aktualna wysokość: s=H-h. Dopiero po dotarciu do podłoża cała przebyta droga jest równa H.

Aby obliczyć, z jakiej wysokości spadło ciało, wystarczy znać czas spadania. Przypomnijmy wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej:

\displaystyle s=\frac{at^2}{2}.

Po podstawieniu a=g i oznaczeniu całkowitego czasu spadania przez t_c otrzymujemy:

\displaystyle H=\frac{gt_c^2}{2}.

W drugą stronę: znając wysokość początkową, obliczymy czas spadania:

\displaystyle t_c=\sqrt{\frac{2H}{g}}.

Wysokość w pewnej chwili t_1 liczymy inaczej. Od wysokości początkowej odejmujemy drogę przebytą do tej chwili:

\displaystyle h=H-\frac{gt_1^2}{2}.

W tej części przez spadek swobodny rozumiemy upuszczenie ciała z bezruchu. W szerszym znaczeniu swobodny jest każdy ruch pod wpływem samej grawitacji, także ruch ciała rzuconego w górę.

Rzut pionowy

Rzut w dół

Rzut pionowy w dół możemy kojarzyć ze spadkiem swobodnym. Różni się od upuszczenia z bezruchu tym, że ciało ma prędkość początkową skierowaną w dół. Jej wartość oznaczamy przez v_0. Do drogi przebytej wskutek przyspieszania dochodzi więc składnik v_0t:

\displaystyle s=v_0t+\frac{gt^2}{2}.

Jeżeli znamy całkowity czas spadania t_c, wysokość początkowa wynosi:

\displaystyle H=v_0t_c+\frac{gt_c^2}{2}.

Wysokość w danej chwili t_1, analogicznie jak przy spadku swobodnym, opisujemy zależnością „wysokość początkowa minus przebyta droga”:

\displaystyle h=H-v_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}.

Szybkość ciała — przypomnijmy ruch jednostajnie przyspieszony — wynosi:

\displaystyle v=v_0+gt.

W tym wzorze v jest wartością prędkości skierowanej w dół, a nie jej składową na osi skierowanej w górę.

Rzut w górę

Prześledźmy, jak zachowuje się ciało rzucone pionowo w górę. Początkowo wznosi się, ale z czasem zwalnia wskutek przyspieszenia ziemskiego skierowanego w dół. Osiąga maksymalną wysokość h_{\max} i na chwilę się zatrzymuje. Przyspieszenie nadal wynosi g i jest skierowane w dół, więc ciało zaczyna opadać, nabierając szybkości.

Podczas wznoszenia mamy ruch jednostajnie opóźniony. Przyjmijmy poziom wyrzutu za h=0, a dodatni zwrot osi pionowej — w górę. Wysokość ponad tym poziomem jest podczas wznoszenia równa przebytej drodze:

Droga w ruchu jednostajnie opóźnionym, gdy a oznacza dodatnią wartość opóźnienia:

\displaystyle s=v_0t-\frac{at^2}{2}.

Wysokość w chwili t:

\displaystyle h=v_0t-\frac{gt^2}{2}.

Zauważmy minus przed składnikiem zawierającym g. Przyspieszenie jest zwrócone przeciwnie do dodatniego zwrotu osi. Gdybyśmy wstawili plus, opisalibyśmy ciało przyspieszające w górę, a nie hamowane przez grawitację.

Prędkość w danej chwili obliczamy podobnie jak w ruchu opóźnionym:

\displaystyle v=v_0-gt.

Tutaj v oznacza składową prędkości na osi skierowanej w górę. Podczas wznoszenia jest dodatnia, a podczas opadania ujemna. Szybkość, czyli wartość prędkości, wynosi |v|.

Jak znajdziemy czas wznoszenia? W najwyższym punkcie v=0, więc:

\displaystyle 0=v_0-gt_w,

\displaystyle t_w=\frac{v_0}{g}.

Wysokość maksymalną możemy obliczyć, podstawiając ten czas do wzoru na wysokość:

\displaystyle h_{\max}=v_0\frac{v_0}{g}-\frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{g}\right)^2,

\displaystyle h_{\max}=\frac{v_0^2}{2g}.

Jest to wysokość ponad punktem wyrzutu. Jeżeli ciało wyrzucono z wysokości H nad ziemią, jego maksymalna wysokość nad ziemią wynosi H+h_{\max}.

Po osiągnięciu najwyższego punktu ciało zaczyna spadać z bezruchu. Powrót do poziomu wyrzutu trwa tyle samo co wznoszenie. Całkowity czas takiego lotu jest zatem dwa razy dłuższy od czasu wznoszenia:

\displaystyle t_c=2t_w=\frac{2v_0}{g}.

Ten wzór dotyczy powrotu na wysokość początkową. Jeżeli ciało rzucono z balkonu, powrót na wysokość balkonu nie oznacza jeszcze upadku na ziemię.

Rozpatrzmy po kolei trzy etapy tego samego rzutu: początek ruchu, osiągnięcie najwyższego punktu oraz powrót do poziomu wyrzutu. Za każdym razem korzystamy ze wzoru v=v_0-gt.

1. Początek ruchu, t=0:

\displaystyle v=v_0-g\cdot 0=v_0.

Prędkość ciała jest równa prędkości nadanej przy rzucie.

2. Najwyższy punkt, t=t_w:

\displaystyle v=v_0-gt_w=v_0-g\frac{v_0}{g}=0.

Ciało osiąga maksymalną wysokość i chwilowo się zatrzymuje. Zerowa prędkość nie oznacza zerowego przyspieszenia.

3. Powrót do poziomu wyrzutu, t=t_c=2t_w:

\displaystyle v=v_0-g\cdot 2\frac{v_0}{g}=v_0-2v_0=-v_0.

Okazuje się, że przy powrocie ciało ma taką samą szybkość jak na początku, ale przeciwny zwrot prędkości. Minus oznacza ruch w dół. Podczas opadania prędkość i przyspieszenie mają ten sam zwrot, dlatego szybkość rośnie.

Rzut w górę — podsumowanie

Ciało otrzymuje prędkość początkową. Najpierw wznosi się, a następnie opada. W obu fazach przyspieszenie ziemskie jest skierowane w dół.

Wektorowo prędkość w dowolnej chwili zapisujemy:

\displaystyle \vec v=\vec v_0+\vec g\,t.

Po uwzględnieniu zwrotów na osi skierowanej w górę otrzymujemy v=v_0-gt. Ujemna wartość tej składowej oznacza zmianę zwrotu ruchu, nie jego pionowego kierunku.

Wysokość maksymalną liczymy jak drogę przebytą podczas wznoszenia, podstawiając właśnie czas t_w, a nie dowolny czas lotu:

\displaystyle h_{\max}=v_0t_w-\frac{gt_w^2}{2}=\frac{v_0^2}{2g}.

Rzut poziomy

Załóżmy, że mamy ciało na wysokości H. Nadajemy mu prędkość w kierunku poziomym. Jednocześnie przyspieszenie ziemskie powoduje ruch w dół. Musimy więc złożyć oba ruchy, aby opisać, jak ciało będzie się poruszało.

W poziomie ciało porusza się ze stałą prędkością v_0. W pionie wykonuje ruch jednostajnie przyspieszony bez prędkości początkowej. Przy osi pionowej skierowanej w górę składowe prędkości wynoszą:

\displaystyle v_x=v_0,\qquad v_y=-gt.

Prędkość wypadkowa jest sumą wektorową obu składowych. Ponieważ rośnie wartość składowej pionowej, a pozioma się nie zmienia, tor coraz bardziej zakrzywia się w dół. W przyjętym modelu jest to fragment paraboli, nie prosta ukośna.

Co ciekawe, do obliczenia wysokości i zasięgu nie musimy najpierw wyznaczać prędkości wypadkowej. Rozpatrujemy ruch pionowy i poziomy osobno, pamiętając, że w obu równaniach występuje ten sam czas.

Posługując się wzorem na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym, obliczamy pionową drogę spadania:

\displaystyle s_y=\frac{gt^2}{2}.

Wysokość w chwili t wynosi więc:

\displaystyle h=H-\frac{gt^2}{2}.

Odległość przebytą w poziomie obliczamy z równania ruchu jednostajnego:

\displaystyle x=v_0t.

Zasięg rzutu z to odległość pozioma przebyta do chwili upadku. Podstawiamy zatem całkowity czas lotu:

\displaystyle z=v_0t_c.

Jeżeli nie mamy podanego czasu upadku, wyznaczamy go z warunku h=0:

\displaystyle t_c=\sqrt{\frac{2H}{g}},

\displaystyle z=v_0\sqrt{\frac{2H}{g}}.

Zasięg zależy więc zarówno od prędkości poziomej, jak i od wysokości początkowej, która wyznacza czas spadania.

Rzut ukośny

Ciało otrzymuje prędkość początkową \vec v_0 skierowaną pod kątem \alpha do poziomu. Prędkość rozkładamy na dwie składowe: poziomą i pionową. Oznaczamy je przez v_{0x} i v_{0y}.

Przyjmijmy początek układu współrzędnych w punkcie wyrzutu, oś x poziomo, a oś y pionowo w górę. Rozpatrujemy rzut w górę i w prawo, czyli 0<\alpha<90^\circ. Składowe prędkości początkowej wyznaczamy z funkcji trygonometrycznych:

\displaystyle v_{0x}=v_0\cos\alpha,

\displaystyle v_{0y}=v_0\sin\alpha.

Możemy już mówić o dwóch składowych ruchu. Ruch poziomy jest jednostajny, bez przyspieszenia, z prędkością v_{0x}. Korzystamy ze znanego wzoru s=vt:

\displaystyle x=v_{0x}t.

W pionie sytuacja jest taka jak w rzucie pionowym w górę. Podczas wznoszenia ruch jest jednostajnie opóźniony, a podczas opadania — jednostajnie przyspieszony. Przyspieszenie przez cały czas jest skierowane w dół. Wysokość względem poziomu wyrzutu wynosi:

\displaystyle y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}.

Równanie toru

Podstawiając do równań położenia wzory na odpowiednie składowe prędkości, otrzymujemy:

\displaystyle x=v_0\cos\alpha\cdot t,

\displaystyle y=v_0\sin\alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}.

Wyznaczamy czas z pierwszego równania:

\displaystyle t=\frac{x}{v_0\cos\alpha}.

Po podstawieniu go do równania na y i uproszczeniu otrzymujemy równanie toru:

\displaystyle y=x\operatorname{tg}\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}.

Jest to równanie paraboli. Pokazuje zależność między wysokością a odległością poziomą od punktu wyrzutu przy ustalonej prędkości początkowej i kącie wyrzutu. Symbol \operatorname{tg} oznacza tangens.

Aby wyznaczyć zasięg, zakładamy teraz, że ciało ląduje na tej samej wysokości, z której je wyrzucono. Wtedy na końcu lotu y=0. Podstawiamy do równania toru:

\displaystyle 0=x\left(\operatorname{tg}\alpha-\frac{gx}{2v_0^2\cos^2\alpha}\right).

Rozwiązanie x=0 opisuje punkt wyrzutu. Drugie rozwiązanie daje zasięg:

\displaystyle z=\frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g},

\displaystyle z=\frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}.

Dla ustalonej szybkości początkowej największy zasięg otrzymujemy przy \alpha=45^\circ. Pamiętajmy jednak o przyjętych warunkach: pomijamy opór powietrza, a poziomy startu i lądowania są jednakowe.

Całkowity czas lotu to czas wznoszenia i opadania razem:

\displaystyle t_c=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}.

W liczniku występuje początkowa składowa pionowa prędkości v_{0y}, nie jej wartość w dowolnej chwili.

Maksymalną wysokość otrzymamy, gdy do równania na y podstawimy czas wznoszenia, równy w tym przypadku połowie całkowitego czasu lotu:

\displaystyle t_w=\frac{t_c}{2}=\frac{v_0\sin\alpha}{g}.

Po podstawieniu i uproszczeniu:

\displaystyle h_{\max}=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.

Na tej wysokości zeruje się tylko składowa pionowa prędkości. Składowa pozioma nadal wynosi v_0\cos\alpha, więc — w odróżnieniu od rzutu pionowego — ciało nie zatrzymuje się.

Jeżeli poziomy startu i lądowania są różne, czasu lotu i zasięgu nie obliczamy z powyższych skróconych wzorów. W równaniu wysokości uwzględniamy wysokość początkową H nad podłożem i wyznaczamy dodatni czas, dla którego:

\displaystyle 0=H+v_0\sin\alpha\cdot t_c-\frac{gt_c^2}{2}.

Następnie obliczamy zasięg ze wzoru z=v_0\cos\alpha\cdot t_c.

Tabela podsumowująca

W tabeli rzut pionowy w górę i rzut ukośny kończą się na poziomie wyrzutu. Rzut poziomy rozpoczyna się na wysokości H nad podłożem. Maksymalną wysokość w rzucie pionowym i ukośnym liczymy ponad punktem wyrzutu.

Zadania

Zadanie 1 — rzut ukośny

Strzelamy pociskiem tak, aby trafić przedmiot znajdujący się na wysokości h_0 ponad punktem wystrzału i w odległości poziomej d. Przedmiot zostaje puszczony z bezruchu dokładnie w chwili wystrzału. Pod jakim kątem należy wystrzelić pocisk, aby trafił w spadający przedmiot?

Pomijamy opór powietrza i rozmiary obu ciał. Przyjmujemy h_0>0 i d>0. Początek układu współrzędnych umieszczamy w punkcie wystrzału, a oś pionową kierujemy w górę.

Rozwiązanie. Warunkiem trafienia jest równość położeń obu ciał w tej samej chwili. Najpierw zapisujemy ich wysokości:

Położenie pionowe pocisku:

\displaystyle y_p=v_0t\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}.

Położenie pionowe przedmiotu:

\displaystyle y_c=h_0-\frac{gt^2}{2}.

W chwili zderzenia:

\displaystyle v_0t\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}=h_0-\frac{gt^2}{2}.

Składniki zawierające gt^2/2 redukują się. Pozostaje:

\displaystyle v_0t\sin\alpha=h_0.

Zapisujemy jeszcze położenie poziome pocisku. Aby trafił w przedmiot, musi znaleźć się w odległości x=d:

\displaystyle d=v_0t\cos\alpha.

W obu równaniach mamy nieznany czas. Wyznaczamy go z równania dotyczącego wysokości:

\displaystyle t=\frac{h_0}{v_0\sin\alpha}.

Podstawiamy do równania położenia poziomego:

\displaystyle d=v_0\frac{h_0}{v_0\sin\alpha}\cos\alpha,

\displaystyle \operatorname{tg}\alpha=\frac{h_0}{d}.

Skojarzmy ten wynik ze wzorem na tangens w trójkącie prostokątnym. Przyprostokątne mają długości h_0 i d, a przeciwprostokątna łączy punkt wystrzału z początkowym położeniem przedmiotu.

Odpowiedź: należy wystrzelić pocisk dokładnie w kierunku początkowego położenia przedmiotu, pod kątem \alpha=\arctan(h_0/d). Nie dodajemy poprawki na to, że przedmiot zaczyna spadać.

Dlaczego? W tym samym czasie grawitacja obniża położenie każdego z ciał o gt^2/2 względem położenia, jakie miałoby bez grawitacji. Właśnie dlatego te składniki redukują się w równaniu spotkania.

Warunek, o którym trzeba pamiętać: spotkanie musi nastąpić, zanim którekolwiek ciało uderzy w podłoże lub inną przeszkodę. Szybkość pocisku nie zmienia wymaganego kąta, ale decyduje o tym, czy pocisk zdąży dotrzeć do celu.

Jeżeli podłoże leży na poziomie wystrzału, przedmiot spada na nie po czasie \sqrt{2h_0/g}. Czas do spotkania wynosi \sqrt{d^2+h_0^2}/v_0. Spotkanie nad podłożem jest zatem możliwe, gdy:

\displaystyle \frac{\sqrt{d^2+h_0^2}}{v_0}<\sqrt{\frac{2h_0}{g}}.

W rzeczywistym ruchu istotny opór powietrza może zmienić ten wynik. Rozwiązanie dotyczy założeń przyjętych w zadaniu.

Źródło tekstu wyjściowego: „Fizyka dla liceum/Rzuty”, autorzy wymienieni w historii edycji Wikibooks. Niniejsza wersja zawiera korektę językową, uściślenia fizyczne, poprawione oznaczenia i tekstową tabelę wzorów. Tekst źródłowy i niniejsze opracowanie: CC BY-SA 4.0. Ilustracja rzutu pionowego: Lethern, domena publiczna.