Elektrostatyka - Pole Elektrostatyczne - Zadanie 2

Warto wykonać rysunek (bardzo poglądowy - błędne oznaczenia itd.):

Na rysunku rozważamy hipotetyczny punkt B, wiemy że natężenie pola elektrostatycznego (wypadkowe) w tym punkcie jest sumą wektorów natężeń obu ładunków w tym punkcie, możemy to zapisać jako:

\overrightarrow{E_{wB}}=\overrightarrow{E_{Ba}}+\overrightarrow{E_{Bb}}

Zapisać możemy skalarnie, dodawanie składowych powyższych wektorów:
(1)

E_{wB}=E_{1B}+E_{2B}=\frac{kQ}{r^{2}_{B}} \sin \alpha+\frac{kQ}{r^{2}_{B}} \sin \alpha

Jak widzimy wszystko zależy od odległości od punktu na symetralnej. Teraz należy uogólnić, możemy to zrobić na niejeden sposób:

a) Wykorzystując kąt

\frac{d}{r_{B}}=\cos \alpha

r_{B}=\frac{d}{\cos \alpha }

Więc wstawiając i uogólniając, mamy, że:

E_{w}=\frac{2kQ}{\frac{d^2}{\cos ^2\alpha }} \sin \alpha=\frac{2kQ }{d^2}\cos ^2\alpha\sin \alpha

b) Po prostu wykorzystując odległość punktu B od środka symetralnej:
Z twierdzenia Pitagorasa:

r^{2}_{B}=y^{2}_B+d^2

Wstawiamy to do równania (1)i mamy:

E_{w}=\frac{2kQ}{d^2+y^{2}_{B}}\sin \alpha


Obie metody są poprawne i tak naprawdę obie zwracają te same wyniki.

Teraz zajmijmy się punktem symetralnej w którym wypadkowe natężenie pola jest maksymalne i policzmy jego wartość.

E_{wyp_{max}}=\frac{2kQ}{d^2}\cos ^2 \alpha_{max} \sin \alpha_{max}

Widzimy że o wartości maksymalnej decyduje iloczyn sinusa i kwadratu cosinusa. Obliczamy zatem pochodną iloczynu względem kąta i przyrównujemy do zera, aby znaleźć ekstremum tego iloczynu.

\frac{d}{d \alpha} (sin \alpha cos^2 \alpha)=0
-2cos\alpha sin^2 \alpha + cos^3\alpha = cos\alpha (cos^2\alpha - 2sin^2\alpha)=0

Po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej:

cos\alpha (1 - 3sin^2\alpha)=0

cos\alpha = 0 \quad lub \quad sin\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

Otrzymujemy dwa rozwiązania. Jednakże pierwsze rozwiązanie odrzucamy, ponieważ przy y dążącym do plus/minus nieskończoności w granicy osiąga wartość zero, zaś drugie rozwiązanie posiada jak najbardziej sens fizyczny.

\alpha_{max} \approx \pm 35^{\circ}

Znak plus bądź minus będzie nam tłumaczył czy wybraliśmy kąt (wychylenie) o zwrocie w kierunku dodatnich bądź ujemnych wartości na prostej Y.