Elektrostatyka Zadanie 3 - Natężenie Pola Elektrycznego i Potencjał Elektryczny na symetralnej
W tym materiale
Wyznaczyć natężenie pola elektrycznego E na symetralnej odcinka o długości 2d na końcach którego znajdują się ładunki Q i − Q
W którym punkcie symetralnej natężenie pola jest maksymalne?
Obliczyć natężenie pola i potencjał w tym punkcie.
Zobacz rozwiązanie! - kliknij na napis "więcej" znajdujący się poniżej.
Warto wykonać rysunek (poniższy jest bardzo poglądowy i są na nim błędne oznaczenia):
Na rysunku rozważamy hipotetyczny punkt B, wiemy że natężenie pola elektrostatycznego (wypadkowe) w tym punkcie jest sumą wektorów natężeń obu ładunków w tym punkcie, możemy to zapisać jako:
\overrightarrow{E_{wB}}=\overrightarrow{E_{Ba}}+\overrightarrow{E_{Bb}}
Zapisać możemy skalarnie, dodawanie składowych powyższych wektorów:
(1)
E_{wB}=E_{1B}+E_{2B}=\frac{kQ}{r^{2}_{B}} \cos \alpha+\frac{kQ}{r^{2}_{B}} \cos \alpha
Jak widzimy wszystko zależy od odległości od punktu na symetralnej. Teraz należy uogólnić, możemy to zrobić na niejeden sposób:
a) Wykorzystując kąt
\frac{d}{r_{B}}=\cos \alpha
r_{B}=\frac{d}{\cos \alpha }
Więc wstawiając i uogólniając, mamy, że:
E_{w}=\frac{2kQ}{\frac{d^2}{\cos ^2\alpha }} \cos \alpha=\frac{2kQ }{d^2}\cos ^2\alpha\cos \alpha=\frac{2kQ }{d^2}\cos ^3\alpha
b) Po prostu wykorzystując odległość punktu B od środka symetralnej:
Z twierdzenia Pitagorasa:
r^{2}_{B}=y^{2}_B+d^2
Wstawiamy to do równania (1)i mamy:
E_{w}=\frac{2kQ}{d^2+y^{2}_{B}}\cos \alpha
Obie metody są poprawne i tak naprawdę obie zwracają te same wyniki.
Teraz zajmijmy się punktem symetralnej w którym natężenie pola jest maksymalne i policzmy jego wartość.
Oczywistym jest że będzie nam to bardzo łatwo zrobić gdyż mamy dane wzory ogólne na to:
Z równania wcześniej wyprowadzonego:
Widzimy że będzie ono maksymalne dla maksymalnej wartości funkcji cosinus (bo tylko to się zmienia przy zmianie położenia tego punktu na symetralnej). A wiemy że cosinus przyjmuje maksymalną wartość dla kąta zero stopni, więc będzie to dokładnie w środku symetralnej (w miejscu przecięcia symetralnej z odcinkiem 2d)
I jest to wartość:
(\cos^3 \alpha)_{max}=1
Możemy więc policzyć tę wartość:
E_{wyp_{max}}=\frac{2kQ}{d^2}\cos ^3 \alpha_{max}=E_{wyp_{max}}=\frac{2kQ}{d^2}
Identycznie będzie dla uogólnienia b) tyle tylko że zamiast kąta, wiemy że maksymalna wielkość będzie dla minimalnej w mianowniku, a zmienia się wraz ze zmianą położenia punktu na symetralnej tylko y, odległość punktu od miejsca przecięcia symetralnej z odcinkiem 2d. Aby więc natężenie było największe odległość ta powinna wynosić najmniej, czyli zero:
E_{wmax}=\frac{2kQ}{d^2+0^{2}}=\frac{2kQ}{d^2}
Potencjał będzie już łatwiej wyliczyć w tym punkcie, ponieważ jest to zwykła wielkość skalarna, więc:
V_{0}=V_{Q}+V_{-Q}
Punkt nazwałem punktem zero, bo znajduje się w początku układu współrzędnych.
V_{0}=\frac{kQ}{r^{2}_{B}}+\frac{k(-Q)}{r^{2}_{B}}=0
Wynik ten nie powinien zaskakiwać ze względu na różnoimienne ładunki oraz ich równe odległości do punktu na symetralnej. Argumentacja słowna równie dobrze wystarczyłaby za odpowiedź.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (12)
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz