Elektrostatyka Zadanie 13 - Natężenie Pola i Potencjał wokół nieprzewodzącej naładowanej nici...

Warto rozpatrzeć jak wygląda definicja gęstości liniowej ładunku:

\lambda =\frac{q}{l}
Niewiele bezpośrednio nam to jednak da, bez rysunku i bez użycia prawa Gaussa sobie raczej nie poradzimy.

Teraz na podstawie prawa Gaussa możemy wyznaczyć wektor indukcji

\int_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=\lambda



Strumień indukcji przenikający przez dwie powierzchnie podstaw walca jest równy zeru, ponieważ wektor D ,jest w tym przypadku do nich styczny zatem na tych powierzchniach

\vec{D}\cdot d\vec{S}=0

Wszystkie punkty powierzchni bocznej są jednakowo odległe od naładowanej osi, wobec tego wektor indukcji w każdym punkcie tej powierzchni jest taki sam i równanie początkowe upraszcza się nam do postaci:

2D\pi rl=\lambda l

Jak widzimy „l” się skróci i nie mamy już problemu z nieskończoną długością.
Wiemy też że:

D=\varepsilon E

Więc ostatecznie po przekształceniach mamy:

E=\frac{\lambda }{2\pi r\varepsilon }


Wyznaczyć potencjał będzie jeszcze trudniej.

Przyda nam się nasz ostateczny wzór na natężenie pola.
Oraz musimy skorzystać ze wzoru który znamy z prawa Gaussa na obliczanie potencjału

V=\int_{r}^{r_{p}}\vec{E}\cdot d\vec{r}

Możemy dokonać podstawienia za E:

V=\int_{r}^{r_{p}}\frac{\lambda }{2\pi r\varepsilon }\cdot dr


Po wykonaniu całkowania natomiast otrzymujemy:

V=\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon }\ln r_{p}-\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon }\ln r


Pierwszy człon po znaku równości to tak naprawdę dowolna stała całkowania, z dokładnością co do której został określony potencjał. Najprościej będzie jak przyjmiemy po prostu ją równą zeru, czyli jednostowe r_p, tzn. że punkt odniesienia znajduje się w odległości od przewodu równej jednostce miary długości.

Po tym uproszczeniu dostajemy ostateczny wzór:


V=-\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon }\ln r=\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon }\ln \frac{1}{r}