Elektrostatyka Zadanie 1 - Kula o masie m, obdarzona ładunkiem q1, porusza się z prędkością v, w kierunku drugiej - początkowo nieruchomej - kuli o masie m2 i ładunku q2

W zadaniu musimy skorzystać z zasaday zachowania energi oraz zasady zachowania pędu.

Rozpisujemy więc zasadę zachowania energi:

E_{k1}+E_{p1}=E_{p2}+E_k2

E_{p1}=0

Dlaczego w taki sposób?

Gdyż kulka pierwsza w początkowym momencie ma energię tylko kinetyczną, natomiast kulka druga nie ma żadnej energii - gdyż jest w spoczynku i znajdują się obie w bardzo dużej wzajemnej odległości, czyli energia potencjalna na początku jest równa zero. W końcowym momencie gdy kulki zbliżą się na minimalną odległość x, będą natomiast miały energię zarówno potencjalną wzajemnego oddziaływania oraz energię kinetyczną, gdyż obie jako jeden układ będą w ruchu (wynika to z faktu że kulka druga nie jest unieruchomiona a więc powstanie bilans pędu). Ale jako że energia jest zachowana, to energia mechaniczna na początku i na końcu musi być sobie równa.

E_{k1}=E_{p2}+E_k2

Możemy to już rozpisać.

\frac{m_1 v^2_1}{2}=\frac{k q_1 q_2}{x}+\frac{(m_1 + m_2 )v^2}{2}

czyli kulki zbliżając się do siebie na minimalną odległość zazynają poruszać się jako jeden układ z jakąś nieznaną nam jeszcze prędkością, energia kinetyczna kulki pierwszej zamienia się na energię potencjalną wspólnego oddziaływania kulek oraz energię kinetyczną ich wspólnego ruchu.

Nie mamy jeszcze prędkości ruchu wspólnego tych kulek, ale możemy ją policzyć prosto z zasady zachowania pędu, gdyż kulki się jakby zderzają ze sobą.

p_1=p_2

m_1 v_1=(m_1+m_2)v

Stąd wyznaczamy v:

v=\frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}

Teraz możemy już wstawić v do wzoru z zasady zachowania energii i wyznaczyć x.

\frac{m_1 v^2_1}{2}=\frac{k q_1 q_2}{x}+\frac{(m_1 + m_2 )v^2}{2}

\frac{k q_1 q_2}{x}=\frac{m_1 v^2_1}{2}-\frac{(m_1 + m_2 )v^2}{2}

x=\frac{k q_1 q_2}{\frac{m_1 v^2_1}{2}-\frac{(m_1 + m_2 )v^2}{2}}

x=\frac{1}{2} \cdot \frac{k q_1 q_2}{m_1 v^2_1-(m_1 + m_2 )v^2}

wstawiamy v:

x=\frac{1}{2} \cdot \frac{k q_1 q_2}{m_1 v^2_1-(m_1 + m_2 )(\frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2})^2}

x=\frac{1}{2} \cdot \frac{k q_1 q_2}{m_1 v^2_1-(\frac{m^2_1 v^2_1}{m_1 + m_2})}

x=\frac{1}{2m_1 v^2_1} \cdot \frac{k q_1 q_2}{1-(\frac{m_1}{m_1 + m_2})}

Ostatecznie:

x=\frac{k q_1 q_2}{2m_1 v^2_1(1-\frac{m_1}{m_1 + m_2})}

Standardowo jeżeli istnieją jakieś pytania, prosimy o komentarze.