Ruch harmoniczny, definicje

1. Ruch w którym siła wprawiająca ciało w ruch jest proporcjonalna do wychylenia i ma zwrot przeciwny do wychylenia

\overrightarrow{F} = - k\overrightarrow{x}

k - współczynnik charakteryzujący oscylator

x - wychylenie z położenia równowagi

2. Ruch, w którym wychylenia z położenia równowagi zmieniają się zgodnie ze zmianą funkcji sinus, czyli są sinusoidalnie zmienne

x(t) = Asin(ωt + φ)

\omega = \frac {2\pi}{\top}

A - amplituda

ω - częstość kołowa

φ - faza początkowa ruchu (kąt wychylenia z położenia równowagi w chwili rozpoczęcia pomiaru czasu)

Równania ruchu oscylatora harmonicznego

• oznaczenia :

x - wychylenie ze stanu równowagu ( położenia zero )
A - amplituda drgań ( maksymalne wychylenie )
T - okres, jednostka [s]
f - częstotliwość drgań, jednostka [Hz]
φ - przesunięcie fazowe

• związki :

\omega={{\alpha}\over{t}}={{2\pi}\over{T}}={2{\pi}f}

ponieważ α jest wyrażone w radianach.

Ponadto nie powinno używać się do opisu częstości kołowej jednostki Hz (chociaż jest to poprawne). Preferowany zapis: s ⁻¹

• położenie (przemieszczenie)

x = Asin(ωt + φ)

• prędkość

V = V_maxcos(ωt + φ)

V_max = ωA

• prędkość ( skąd to się bierze  ;)

Prędosć jest pochodną położenia po czasie , więc :
V = {{dx}\over{dt}} = {{d}\over{dt}}(A \sin(\omega t + \phi))=Acos(\omega t + \phi)\omega = (A{\omega})cos(\omega t + \phi)

• przyspieszenie (zwrot siły wypadkowej)

a = − a_maxsin(ωt + φ)

a_max = ω²A

Związki dla ciężarka drgającego na sprężynie

k = m \omega ^2 => \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

F = − mω²Asin(ωt + φ)

\top = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Siła, prędkość, przyspieszenie w ruchu harmonicznym

F = − Asin(ωt + φ)

ωt + φ to tzw. faza

F = − kx

− mω² = Asin(ωt + φ)

Opis zmian siły, prędkości, przyspieszenia

x = Asin(ωt + φ)

V = ωAcos(ωt + φ)

a = − ω²Asin(ωt + φ)

czas	x	F	V	a
0	0	0	ωA	0
\frac{1}{4}\top	A\sin(\frac{2\pi}{\top}\frac{\top}{4})	mω2A	0	\omega^2A\sin(\frac{2\pi}{\top}\frac{\top}{4})
\frac{1}{2}\top	0	0	ωA	0
\frac{3}{4}\top	A	mω2A	0	\omega^2A\sin(\frac{2\pi}{\top}\frac{3\top}{4})
\top	0	0	ωA	0