Zadanie 3 - Mechanika relatywistyczna - długość pręta

Dane:
l_1=1m
l_2=2m
v_1=0.8c
v_2=0.6c

a)

Zgodnie z relatywistycznym odejmowaniem prędkości, prędkość drugiego pręta w układzie odniesienia związanym z pierwszym wynosi:

v^{'}_{a}=\frac{v_{1}-v_{2}}{1-\frac{v_{1}v_{2}}{c^2}}

v^{'}_{a}=\frac{0,8c-0,6c}{1-\frac{0,8c \cdot 0,6c}{c^2}}

v^{'}_{a}=\frac{0,2c}{1-\frac{0,48c^2}{c^2}}

v^{'}_{a}=\frac{0,2c}{0,52}

v^{'}_{a}=\frac{5}{13}c

Teraz pora wyznaczyć jego długość, jak wiemy zgodnie z STW zajdzie zjawisko nazywane skróceniem długości. Jako że mamy policzyć długość pręta w układzie odniesienia związanym z drugim prętem będziemy używać prędkości pierwszego pręta w układzie odniesienia związanym z drugim prętem, którą właśnie wyprowadziliśmy.

l_{0}=\frac{l^{'}_{a}}{\sqrt{1-\frac{ v^{2}_{a}}{c^2}}}
Pamiętajmy że to lo jest spoczynkową (podaną w zadaniu) długością pręta a l' mamy obliczyć. Trzeba więc przekształcić wzór, przy okazji podstawiając dane:

{l^{'}_{a}} = l_{2} \sqrt{1-\frac{ (\frac{5}{13}c)^{2}}{c^2}}

{l^{'}_{a}} = l_{2} \sqrt{1- \frac{25}{169}}

{l^{'}_{a}} = l_{2} \sqrt{\frac{144}{169}}

{l^{'}_{a}} = \frac{12}{13}l_{2} =\frac{24}{13}m




b)
Zgodnie z relatywistycznym dodawaniem prędkości, prędkość drugiego pręta w układzie odniesienia związanym z pierwszym wynosi:
v^{'}_{b}=\frac{v_{1}+v_{2}}{1+\frac{v_{1}v_{2}}{c^2}}

v^{'}_{b}=\frac{0,8c+0,6c}{1+\frac{0,8c \cdot 0,6c}{c^2}}

v^{'}_{b}=\frac{1,4c}{1+\frac{0,48c^2}{c^2}}

v^{'}_{b}=\frac{1,4c}{1,48}

v^{'}_{b}=\frac{35}{37}c

Teraz pora wyznaczyć jego długość, jak wiemy zgodnie z STW zajdzie zjawisko nazywane skróceniem długości. Jako że mamy policzyć długość pręta w układzie odniesienia związanym z drugim prętem będziemy używać prędkości pierwszego pręta w układzie odniesienia związanym z drugim prętem, którą właśnie wyprowadziliśmy.

l_{0}=\frac{l^{'}_{b}}{\sqrt{1-\frac{v^2_b}{c^2}}}
Pamiętajmy że to lo jest spoczynkową (podaną w zadaniu) długością pręta a l′ mamy obliczyć. Trzeba więc przekształcić wzór, przy okazji podstawiając dane:

{l^{'}_{b}} = l_{2} \sqrt{1-\frac{ (\frac{35}{37}c)^{2}}{c^2}}

{l^{'}_{b}} = l_{2} \sqrt{1- \frac{1225}{1369}}

{l^{'}_{b}} = l_{2} \sqrt{\frac{144}{1369}}

{l^{'}_{b}} = \frac{12}{37}l_{2} =\frac{24}{37}m


Standardowo, jeżeli są jakieś pytania prosimy o komentarze.