Mechanika kwantowa - podstawy zadanie 9 - cząstka alfa w jednorodnym polu magnetycznym

Cząstka alfa to pojedyncze jądro helu, a więc dwa protony i dwa neutrony.
Dla uproszczenia pomijamy efekty relatywistyczne, które mogą występować.

Dane:

B=2,5 \cdot 10^{-2} T

q=2e (składa się z dwóch protonów, a pojedynczy proton posiada ładunek elementarny e)

m_{\alpha}=2m_{p}+2m_{n}\approx4m_{p}

R=5cm=0,05m

Stałe fizyczne:
e=1,6 \cdot 10^{-19} C
h=6,626 \cdot 10^{-34} Js
m_{p}=1,67 \cdot 10^{-27} kg



Szukane:

\lambda_{br}=?


Skoro cząstka alfa jest w polu magnetycznym i porusza się po okręgu oznacza to że zachodzi równowaga dwóch działających na cząstkę sił - siły lorenza i siły odśrodkowej.

Wzory:

(1)  F_{L}=F_{odśr}

(2)  F_{L}=qv\times B=qvB\cos{\phi}=qvB    we wzorze był iloczyn wektorowy, ale jako że kąt między B i v w tym przypadku jest równy 90 stopni, to mamy wartość maksymalną dla tego wzoru.

(3)  F_{odśr}=\frac{m_{\alpha}v^2}{R}

(4)  \lambda_{br}=\frac{h}{p} wzór na długość fali de Brogie’a czyli inaczej fali materii

(4)  E_{k}=\frac{m_{\alpha}v^2}{2} zwykły wzór na energię kinetyczną, tyle że dla cząstki alfa

(5)  p=m_{\alpha}v

(6)  E_{k}=\frac{p^2}{2m_{\alpha}} wzór wynika z powyższych można wyprowadzić, ale nie jest to na tyle skomplikowane żeby było warto to robić







Przekształcenia i podstawienia które należy dokonać:

Widzimy że poszukiwaną wielkość mamy we wzorze (4) i do jej obliczenia brakuje nam pęd, więc zajmiemy się najpierw jego wyznaczeniem.



Do (1) wstawiamy równości z (2) i (3) i mamy:

qvB=\frac{m_{\alpha}v^2}{R}


Przekształcamy tak aby otrztmać pędpo jednej stronie:

qB=\frac{m_{\alpha}v}{R}

qBR=m_{\alpha}v

Teraz podstawiamy z danych za ładunek i z wzoru (5) pęd:


2eBR=p_{\alpha}


Możemy więc wstawić wyznaczony pęd do równania (4):

\lambda_{br}=\frac{h}{2eBR}


Jak widzimy bardzi łatwo i szybko wyznaczyliśmy ostateczny wzór:
\lambda_{br}=\frac{h}{2eBR}



podstawiamy dane:

\lambda_{br}=\frac{6,626 \cdot 10^{-34} Js}{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} C \cdot 2,5 \cdot 10^{-2} T \cdot 0,05m}


wynik:

\lambda_{br}=1,654266909 \cdot 10^{-12} m


Oczywiście zadanie można policzyć wieloma innymi sposobami, ten jednak jest najprostszy i najszybszy.


Jakby były jakieś pytania, poniżej można dodać komentarz