Zadanie 3 - Pole Grawitacyjne - orbita geostacjonarna

Orbita geostacjonarna a więc taka na jakiej ciało będzie się znajdować cały czas nad tym samym miejscem nad powierzchnią Ziemi.

W modelu dwuciałowym orbita musi być kołowa, leżeć w płaszczyźnie równika i mieć zwrot zgodny z obrotem Ziemi. Okres obiegu jest równy okresowi obrotu Ziemi względem odległych gwiazd, czyli dobie gwiazdowej:

T=T_{\mathrm{obrotu\ Ziemi}}\approx86164\,\mathrm{s}

Doba słoneczna 24 h = 86400 s jest użytecznym przybliżeniem, lecz nie dokładnym okresem obrotu potrzebnym dla orbity geostacjonarnej. Nie chodzi o roczny okres obiegu Ziemi wokół Słońca.

Oraz:

F_{d}=F_{g}

W układzie inercjalnym siła grawitacji jest siłą dośrodkową F_d: zapewnia przyspieszenie v²/R. Nie równoważy jej w tym układzie druga, rzeczywista siła odśrodkowa. Z II zasady dynamiki otrzymujemy:

\frac{mv^2}{R}=G\frac{Mm}{R^2}

Gdzie R jest promieniem orbity geostacjonarnej a więc jest równy sumie długości promienia Ziemi „Rz” i wysokości „H” – która jest odległością orbity geostacjonarnej od powierzchni Ziemi i jednocześnie to właśnie ją mamy policzyć. Zapisać więc można:

R=R_{z}+H

Dodatkowo musimy wiedzieć też coś o prędkości z jaką porusza się na orbicie geostacjonarnej dowolne ciało, dzięki temu, że znamy okres obiegu, zadanie stanie się teraz w pełni wykonywalne.

v=\frac{2\pi R}{T}


Mamy szereg wniosków, teraz wystarczy dokonać prostych przekształceń.


Zaczniemy od równania siły grawitacji zapewniającej przyspieszenie dośrodkowe: dzielimy je przez masę „m” i jednocześnie mnożymy przez promień orbity geostacjonarnej „R”. Otrzymujemy:

v^2=\frac{GM}{R}
Podstawiamy za v.

Czyli otrzymujemy:

\frac{4 {\pi}^2 R^2}{T^2}=\frac{GM}{R}


Wypada trochę poprzekształcać, otrzymujemy:

4 {\pi}^2 R^3=GMT^2

Przekształćmy tak, aby otrzymać R, otrzymujemy:

R=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}


Teraz warto podstawić za R.



R_{z}+H=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}


I przekształcić tak aby otrzymać wysokość „H” – czyli odległość orbity geostacjonarnej od powierzchni Ziemi – szukaną wartość. Warto wstawić również M=Mz czyli masa planety której orbita geostacjonarna jest rozpatrywana jest równa masie Ziemi, gdyż planeta ta jest Ziemią jak wynika z treści zadania.



Ostatecznie otrzymujemy:

H=\sqrt[3]{\frac{GM_{z}T^2}{4 {\pi}^2 }} \; \;  - \; R _{z}


Standardowo, jeżeli są jakieś pytania prosimy o komentarze.

Dla GM_Z=3{,}986004418\cdot10^{14}\,\mathrm{m^3/s^2}, T=86164{,}0905\,\mathrm s oraz równikowego promienia R_Z=6378{,}137\,\mathrm{km} dostajemy R\approx42164{,}17\,\mathrm{km} i H\approx35786{,}03\,\mathrm{km}. To wysokość nad równikiem, nie odległość od środka Ziemi. Gdyby zamiast doby gwiazdowej podstawić przybliżone 86400 s, wynik wyniósłby około 35862,96 km.

Zobacz także: ESA — warunki orbity geostacjonarnej.