Wzory Liceum i Gimnazjum - Karta Wzorów

1. RUCH PROSTOLINIOWY

prędkość średnia: v_{sr}=\frac{\Delta{S}}{\Delta{t}}

prędkość: v(t)=v_{0}+at

droga: S(t)=v_{0}t+\frac{at^2}{2}

przyśpieszenie: \vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta{t}} oraz \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}

pęd \vec{p}=m\vec{v}

siła tarcia: F_{T}=\mu \ F_{N}

praca W=\vec{F}\circ\vec{s}=F\; s\: \cos \sphericalangle (\vec{F},\vec{s})

energia kinetyczna: E_{kin}=\frac{mv^2}{2}

moc: P=\frac{\Delta{W}}{\Delta{t}}

\Delta - przyrost, zmiana

S - droga

t - czas

a - przyspieszenie

v, (v_{0}) - szybkość, (szybkość początkowa)

F - siła

m - masa

\mu - współczynnik tarcia

F_N - siła nacisku

\circ - iloczyn skalarny

2. RUCH PO OKRĘGU

częstotliwość: f=\frac{1}{T}

prędkość kątowa: \omega=\frac{\Delta{\alpha}}{\Delta{t}}=\frac{2\pi}{T}=2\pi f

przyspieszenie dośrodkowe: a_{d}=\frac{v^2}{r}

siła dośrodkowa: F_{d}=\frac{mv^2}{r}

T - okres

\alpha - kąt

r - promień krzywizny (w szczególności okręgu)

3. RUCH OBROTOWY

prędkość kątowa: \omega=\omega_{0}+\varepsilon t

kąt: \alpha(t)=\omega_{0}t+\frac{\varepsilon {t}^2}{2}

moment siły: \vec{M}=\vec{r}\times\vec{F},\qquad M=Fr\sin\sphericalangle(\vec{r},\vec{F})

moment bezwładności: I=\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}

moment pędu: J=I\omega

przyspieszenie kątowe: \varepsilon =\frac{M}{I}

energia: E_{kin}=\frac{I\omega^2}{2}

\omega_{0} - początkowa szybkość kątowa

r_{i} - odległość i-tej masy punktowej od osi obrotu

4. RUCH DRGAJĄCY

wychylenie: x(t)=A\sin( \omega t+\varphi )

prędkość: v_{x}(t)=A\omega \cos ( \omega t+\varphi )

przyśpieszenie: a_{x}(t)=-A\omega^{2} \sin ( \omega t+\varphi )=-\omega^2x(t)

siła: F_{x}(t)=-mA\omega^{2} \sin ( \omega t+\varphi )=-m\omega^2x(t)

wahadło matematyczne (dla małych wychyleń): T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}

masa na sprężynie: T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

A - amplituda

\varphi - faza początkowa

l - długość wahadła

k - współczynnik sprężystości

5. GRAWITACJA

siła: F_{g}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^2}

natężenie pola: \vec{\gamma}=\frac{\vec{F}_{g}}{m}

energia potencjalna : E_{pot}=-G\frac{m_{1}m_{2}}{r}

energia potencjalna : E_{pot}=mgh \quad tylko dla h\ll R_{z}

I prędkość kosmiczna (dla Ziemi): v_{I}=\sqrt{\frac{GM_{z}}{R_{z}}}\approx 7,9\frac{km}{s}

II prędkość kosmiczna (dla Ziemi): v_{II}=\sqrt{\frac{2GM_{z}}{R_{z}}}\approx 11,2\frac{km}{s}

m_{1},m_{2} - masy

h - wysokość względem powierzchni Ziemi

R_{z} - promień Ziemi

g - przyspieszenie ziemskie

G - stała grawitacji

M_{z} - masa Ziemi

6. FALE

długość fali: \lambda =vT=\frac{v}{f}

załamanie fali: \frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_{2}}{n_{1}}=n_{2/1}

siatka dyfrakcyjna: n\lambda =d\sin \alpha

poziom natężenia dźwięku: L=10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right)\,\mathrm{dB}=\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right)\,\mathrm{B}. Logarytm jest dziesiętny; jeden bel to dziesięć decybeli: 1\,\mathrm{B}=10\,\mathrm{dB}.

natężenie odniesienia: I_{0}=10^{-12}\frac{W}{m^2} (próg słyszalności dla tonu o częstotliwości 1 kHz)

efekt Dopplera: f=f_{zr}\frac{v\pm u_{ob}}{v\mp u_{zr}}

v - szybkość fali

\alpha - kąt padania

\beta - kąt załamania

n_1 (odp. n_2) - współczynnik załamania ośrodka 1 (odpowiednio 2) względem próżni, zwane też bezwzględnymi współczynnikami załamania

n_{2/1} - współczynnik załamania ośrodka 2 względem ośrodka 1, zwany też względnym współczynnikiem załamania

n - rząd widma (liczba naturalna)

d - stała siatki dyfrakcyjnej (odległość między środkami sąsiednich szczelin)

I - natężenie dźwięku; I_0 - natężenie odniesienia, odpowiadające umownemu progowi słyszalności dla tonu o częstotliwości 1 kHz

f - częstotliwość odbierana

f_{zr} - częstotliwość źródła

u_{ob} - szybkość obserwatora

u_{zr} - szybkość źródła

7. SPRĘŻYSTOŚĆ

siła sprężystości: \vec{F_{x}}=-k\,\vec{x}

energia: E_{pot}=\frac{k\: x^2}{2}

k - współczynnik sprężystości

x - odchylenie

8. ELEKTROSTATYKA

wartość siły Coulomba między ładunkami punktowymi w próżni: F=k\frac{|q_1q_2|}{r^2}; k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Ładunki jednoimienne odpychają się, a różnoimienne przyciągają.

natężenie pola: \vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}

energia potencjalna: E_{pot}=k\frac{q_{1}q_{2}}{r}

potencjał elektrostatyczny: V=\frac{E_{pot}}{q}

pojemność elektryczna: C=\frac{Q}{U}

kondensator płaski: C=\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} \frac{s}{d}

energia kondensatora: W=\frac{CU^2}{2}

łączenie kondensatorów - szeregowe: \frac{1}{C_{z}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_{i}}

łączenie kondensatorów - równoległe: C_{z}=\sum_{i=1}^{n}C_{i}

q, Q - ładunki

r - odległość między ładunkami

\varepsilon_{0}, \varepsilon_{r} - przenikalność elektryczna próżni, przenikalność elektryczna ośrodka

U - napięcie

9. PRĄD STAŁY

natężenie prądu: I=\frac{\Delta{Q}}{\Delta{t}}

prawo Ohma: I=\frac{1}{R}U

łączenie oporów - szeregowe: R_{z}=\sum_{i=1}^{n}R_{i}

łączenie oporów - równoległe: \frac{1}{R_{z}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_{i}}

opór: R=\rho \frac{l}{S}

prawo Ohma dla obwodów rzeczywistych I: I=\frac{\varepsilon }{R_{z}+R_{w}}

prawo Ohma dla obwodów rzeczywistych II: U=\varepsilon -IR_{w}

moc: P=IU

\rho - opór właściwy przewodnika

l - długość przewodnika

S - przekrój poprzeczny przewodnika

\varepsilon - siła elektromotoryczna ogniwa (SEM)

R_{z} - opór zewnętrzny

R_{w} - opór wewnętrzny ogniwa

U - napięcie

10. POLE MAGNETYCZNE

magnetyczna składowa siły Lorentza: \vec{F}_L=q(\vec{v}\times\vec{B}),\qquad F_L=|q|vB\sin\sphericalangle(\vec{v},\vec{B}). Znak ładunku wyznacza zwrot wektora; wartość siły jest nieujemna.

siła elektrodynamiczna: \vec{F_{eld}}=I(\vec{l}\times \vec{B}); F_{eld}=BIl\sin \sphericalangle (\vec{l},\vec{B}) Uwaga! Wzór prawdziwy w przypadku prostoliniowego przewodnika i jednorodnego pola magnetycznego! Wektor \vec{l} jest skierowany zgodnie z umownym kierunkiem prądu, a I oznacza jego nieujemne natężenie.

strumień pola magnetycznego: \Phi =\vec{B}\circ \vec{S}=BS\cos \sphericalangle (\vec{B},\vec{S})

przewód prostoliniowy: B=\frac{\mu_{o}\mu_{r}I}{2\pi r}

pojedynczy zwój: B=\frac{\mu_{o}\mu_{r}I}{2r}

zwojnica: B=\mu_{o}\mu_{r}N\frac{I}{l}

siła wzajemnego oddziaływania między równoległymi prostoliniowymi przewodami: F=\frac{\mu_{o}\mu_{r}I_{1}I_{2}l}{2\pi r}

SEM indukcji: \varepsilon_{i} =-\frac{\Delta{\Phi}}{\Delta{t}}

SEM samoindukcji: \varepsilon_{s}=-L\frac{\Delta{I}}{\Delta{t}}

indukcyjność zwojnicy: L=\mu_{0}\mu_{r}N^2\frac{S}{l}

q - ładunek

v - szybkość ładunku

B - indukcja pola magnetycznego

S - powierzchnia

\mu_{0}, \mu_{r} - przenikalność magnetyczna próżni, przenikalność magnetyczna ośrodka

N - ilość zwojów

L - współczynnik samoindukcji (indukcyjność)

11. PRĄD PRZEMIENNY

SEM - prądnica: \varepsilon =nBS\omega\sin \omega t

napięcie skuteczne: U_{sk}=\frac{U_{max}}{\sqrt{2}}

natężenie skuteczne: I_{sk}=\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}

transformator: \frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{I_{2}}{I_{1}}

opór indukcyjny: R_{L}=X_{L}=L\omega =2\pi fL

opór pojemnościowy: R_{C}=X_{C}=\frac{1}{C\omega }=\frac{1}{2\pi fC}

częstotliwość rezonansowa obwodu LC: f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} wyprowadzone z X_{L}=X_{C}

zawada: Z=\sqrt{R^2 + X^2}=\sqrt{R^2+(X_{L}-X_{C})^2}=\sqrt{R^2+(L\omega -\frac{1}{C\omega })^{2}}

\omega - częstość kołowa

n_1, n_2 - ilość zwojów

C - pojemność kondensatora

12. TERMODYNAMIKA

ciśnienie: p=\frac{F}{S}

gęstość: \varrho =\frac{m}{V}

ciepło: Q=mc_{w}\Delta{T}

ciepło w przemianie fazowej - topnienie/krzepnięcie: Q=mF

ciepło w przemianie fazowej - parowanie/skraplanie: Q=mL

równanie stanu gazu: \frac{pV}{T}=const

równanie Clapeyrona: pV=nRT

równanie Mayera: C_{p}=C_{v}+R

I zasada termodynamiki: \Delta{U}=Q+W

praca (p=const): W=-p\Delta{V}

sprawność: \eta =\frac{W_{uz}}{Q_{wl}} ; \eta =\frac{Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}

sprawność silnika Carnota: \eta =\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}}

S - powierzchnia

c_w - ciepło właściwe

\Delta{T} - zmiana temperatury

F - ciepło topnienia/krzepnięcia

L - ciepło parowania/skraplania

n - liczba moli

R - stała gazowa

C_p (C_v) - ciepło molowe w przemianie izobarycznej (w przemianie izochorycznej)

W_{uz} - praca użyteczna

Q_{wl}, Q_1 - ciepło włożone, dostarczone

Q_2 - ciepło oddane

13. ATOM WODORU

energia atomu wodoru (model Bohra): E_{n}=-\frac{m_{e}e^4}{8\varepsilon _{0}^2h^2}\cdot \frac{1}{n^2}

m_e -  masa elektronu

e - ładunek elektryczny elektronu

h - stała Plancka

n - numer orbity, n=1,2,...

14. OPTYKA

równanie soczewki - zwierciadła: \frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}

cienka soczewka otoczona z obu stron tym samym ośrodkiem (promienie przyosiowe): \frac{1}{f}=\left(\frac{n_{socz}}{n_{otocz}}-1\right)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)=Z

Powierzchnie soczewki numerujemy w kolejności przechodzenia światła. Promień krzywizny R_i jest dodatni, gdy środek krzywizny leży za daną powierzchnią w kierunku biegu padającego światła, a ujemny, gdy leży przed nią. Dla soczewki dwuwypukłej R_1>0 i R_2<0; dla powierzchni płaskiej 1/R_i=0.

zwierciadło sferyczne (promienie przyosiowe): f=\frac{R}{2}; tutaj R>0 dla zwierciadła wklęsłego i R<0 dla wypukłego.

zdolność skupiająca: Z=\frac{1}{f}

kąt graniczny przy przejściu z ośrodka 1 do 2, gdy n_1>n_2: \sin \alpha _{gr}=\frac{n_2}{n_1}

kąt Brewstera dla światła padającego z ośrodka 1 na granicę z ośrodkiem 2 (przezroczyste dielektryki niemagnetyczne): \tan\alpha _{B}=\frac{n_2}{n_1}=n_{2/1}

Bezwzględny współczynnik załamania światła: n=\frac{c}{v}

Współczynnik załamania ośrodka 2 względem ośrodka 1: n_{2/1}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_1}{v_2}

x - odległość przedmiotu od cienkiej soczewki lub wierzchołka zwierciadła; dodatnia dla przedmiotu rzeczywistego, ujemna dla pozornego.
y - odległość obrazu od soczewki lub zwierciadła; dodatnia dla obrazu rzeczywistego, ujemna dla pozornego.
f - ogniskowa; dodatnia dla układu skupiającego, ujemna dla rozpraszającego. W równaniu obrazowania stosujemy te odległości ze znakami. We wzorze na zdolność skupiającą Z ogniskową podajemy w metrach, a wynik otrzymujemy w dioptriach (m⁻¹).

v - prędkość światła w danym ośrodku
c - prędkość światła w próżni (c = 299 792 458 m/s); w definicji bezwzględnego współczynnika załamania c zawsze oznacza prędkość światła w próżni
n - bezwzględny współczynnik załamania

n₁ - bezwzględny współczynnik załamania ośrodka 1 (z którego wychodzi światło)

n₂ - bezwzględny współczynnik załamania ośrodka 2 
(do którego przechodzi światło)

n_{2/1} - względny współczynnik załamania ośrodka 2 względem ośrodka 1

v_1, v_2 - prędkości światła odpowiednio w ośrodkach 1 i 2; kąty padania, załamania, graniczny i Brewstera mierzymy od normalnej do granicy ośrodków

15. FIZYKA WSPÓŁCZESNA

równoważność masy-energii: E=mc^2=\frac{m_{0}c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

pęd relatywistyczny: p=\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

masa relatywistyczna: m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

UWAGA! - według niektórych podręczników powyższy wzór nie ma racji bytu, gdyż niektórzy uważają, że nie istnieje podział na masę spoczynkową i relatywistyczną, tylko że zmienia się pojęcie pędu w mechanice relatywistycznej, bądź ostrożny stosując pojęcie masy relatywistycznej!

dylatacja czasu: \Delta{t}=\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

energia fotonu: E_{f}=h\nu=\frac{hc}{\lambda}

pęd fotonu: p_{f}=\frac{h}{\lambda }

fala de Broglie'a: \lambda _{br}=\frac{h}{p}

zasada nieoznaczoności: \Delta{p_{x}}\Delta{x}\geq \frac{h}{4\pi }

efekt fotoelektryczny: E_{f}=h\nu =W+E_{kmax}=h\nu_{gr}+(\frac{mv^2}{2})_{max}

rozpad promieniotwórczy: N=N_{0}\cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T_{1/2}}}

E - energia, także energia odpowiadająca danej masie, w szczególności E_f - energia fotonu

m - masa relatywistyczna

m_0 - masa spoczynkowa, masa którą ma dana cząstka/ciało podczas spoczynku, gdy v=0

c - prędkość światła w próżni, wynosi w przybliżeniu 3 \cdot 10^8 \frac{m}{s}

v - prędkość, najczęściej cząstki, rzadziej ciała, przynajmniej w mechanice relatywistycznej. Aby warto było stosować wzory relatywistyczne spełniać warunek v>0.1c

p - pęd relatywistyczny

p_f - pęd fotonu

\Delta{t} - inaczej oznaczany czasami jako t' - czas w układzie zewnętrznym (czas na zewnątrz układu poruszającego się z prędkością v>0.1c), czas ten jest zawsze większy od czasu wewnątrz układu

\Delta{{t}}' - inaczej oznaczany również  jako t_0 - czas w układzie wewnętrznym (czas wewnątrz układu poruszającego się z prędkością v>0.1c), inaczej czas własny, czas ten jest zawsze mniejszy od czasu na zewnątrz układu gdyż jak wiemy czas płynie wolniej w układzie poruszającym się z prędkością bliską prędkości światła.

\nu - (wymowa ni) - częstotliwość fali, czasami używa się po prostu f

\lambda - długość fali, w szczególności \lambda_{br} - długość fali de Broglie'a (fali materii)

h - stała Plancka, wynosi około h=6.626\cdot 10^{-34} Js

\Delta{p_{x}} - nieoznaczoność (inaczej nieokreśloność) pędu cząstki w położeniu x

\Delta{x} - nieoznaczoność (inaczej nieokreśloność) punktu położenia cząstki

W - praca, w zadania związanych z efektem elektrycznym najczęściej jest to praca wyjścia, czyli graniczna (minimalna) energia potrzebna do "uwolnienia" elektronu z powierzchni metalu

E_{kmax} - energia kinetyczna maksymalna, energia osiągana przez najszybsze uwalniane elektrony

\nu_{gr} - częstotliwość graniczna, w efekcie fotoelektrycznym wielkość charakterystyczna dla danego metalu, jeżeli częstotliwość padających fotonów na powierzchnie metalu jest od niej większa to zachodzi efekt fotoelektryczny a więc zostają uwolnione elektrony z powierzchni metalu oraz uzyskują jakąś energię kinetyczną

N - inaczej oznaczane również jako funkcja N(t) - ilość (liczność) jąder atomowych (w przypadku rozpadu promieniotwórczego) w funkcji czasu t, czy też po czasie t.

N_0 - początkowa ilość jąder atomowych (zanim minął jakiś określony czas t)

t - czas który upłynął od chwili gdy jąder atomowych było N_0

T_{1/2} - czas połowicznego rozpadu, czyli czas potrzebny do rozpadu połowy jąder, wielkość charakterystyczna dla danego izotopu

16. HYDROSTATYKA

siła parcia: F=pS

ciśnienie hydrostatyczne: p=\rho gh

siła wyporu: F_{wyp}=\rho gV

p - ciśnienie

S - powierzchnia

\rho - gęstość

h - głębokość

V - objętość

g - przyspieszenie ziemskie

17. ASTRONOMIA

III prawo Keplera: \frac{T^2}{R_{sr}^3}=const

T - okres obiegu

R - promień obiegu