Czy komputer musi się grzać? O fizyce informacji

To nie jest wyłącznie problem konstruktorów procesorów. W tle znajduje się jeden z najciekawszych eksperymentów myślowych w historii termodynamiki. Jego bohater nie miał komputera. Miał za to małe drzwiczki i bardzo dobry refleks.

Demon przy drzwiach

Wyobraźmy sobie pudełko z gazem, przedzielone ścianką na dwie części. Początkowo po obu stronach panuje taka sama temperatura. W ściance znajdują się drzwiczki, przy których siedzi maleńka istota, potrafiąca śledzić ruch pojedynczych cząsteczek.

Istota otwiera przejście wtedy, gdy szybka cząsteczka nadlatuje z lewej strony, albo gdy powolna nadlatuje z prawej. W pozostałych przypadkach drzwi pozostają zamknięte. Po pewnym czasie po prawej stronie zbierają się cząsteczki przeciętnie szybsze, a po lewej — wolniejsze. Jedna część gazu się ogrzewa, druga ochładza. Taki właśnie pomysł, znany jako demon Maxwella, miał sprawdzić, jak mocne są podstawy drugiej zasady termodynamiki. ⁶

Mamy teraz różnicę temperatur, którą można wykorzystać do wykonania pracy. Gdyby demon potrafił powtarzać cały cykl bez żadnego innego skutku, otrzymalibyśmy urządzenie zamieniające ciepło pobrane z otoczenia o jednej temperaturze w pracę. Problem w tym, że druga zasada właśnie na to nie pozwala. ²

Gdzie zatem tkwi błąd? Może w energii potrzebnej do otwierania drzwiczek? A może demon musi płacić za każde spojrzenie na cząsteczkę?

Zostawmy go na chwilę przy pracy. Najpierw przyjrzyjmy się jego pamięci.

Co właściwie znaczy „skasować bit”?

Bit zapisujemy jako zero albo jedynkę, ale w rzeczywistym urządzeniu musi mu odpowiadać coś fizycznego. Może to być kierunek namagnesowania, określony stan elektryczny albo położenie cząstki. Cyfry są naszym opisem. Sam nośnik podlega prawom fizyki. ¹

Na potrzeby rozumowania zbudujmy najprostszą pamięć: cząstka po lewej stronie oznacza zero, po prawej — jedynkę. Przygotowujemy ją tak, że przy każdym przygotowaniu oba stany są jednakowo prawdopodobne. Chcemy następnie wykonać operację, po której zawsze otrzymamy zero, niezależnie od stanu początkowego:

Oto kasowanie informacji. Dwie różne możliwości prowadzą do tego samego wyniku. Patrząc na końcowe zero, nie potrafimy już odtworzyć poprzedniej wartości. Operacja jest logicznie nieodwracalna. Nie chodzi przy tym o usunięcie cyfry z ekranu ani o nazwę polecenia w systemie operacyjnym, lecz o sprowadzenie pamięci do ustalonego stanu i utratę zapisanego w niej rozróżnienia. ^{1, 6}

Dla porównania weźmy negację: zero zmieniamy na jedynkę, a jedynkę na zero. Wartość bitu się zmieniła, ale informacja nie zniknęła. Znając wynik i wiedząc, jaką operację wykonaliśmy, bez trudu odtwarzamy stan początkowy.

To drobna różnica na kartce. W fizyce okazuje się zasadnicza.

Ile kosztuje wyzerowanie pamięci?

W 1961 roku Rolf Landauer opisał związek między logiczną nieodwracalnością a wydzielaniem ciepła. Najbardziej znana postać zasady noszącej jego nazwisko mówi, że wyzerowanie jednego losowego bitu w symetrycznej pamięci, współpracującej z otoczeniem o temperaturze T, wymaga oddania do tego otoczenia średnio co najmniej:

k_B jest stałą Boltzmanna, a temperaturę podajemy w kelwinach. Zakładamy tutaj, że zero i jedynka są początkowo jednakowo prawdopodobne, reset ma być bezbłędny, a urządzenie nie wykorzystuje informacji o początkowym stanie bitu zachowanej gdzie indziej. ^{1, 5}

Skąd ten wzór? W naszym modelu część entropii pamięci związana z wyborem pomiędzy dwoma równie prawdopodobnymi stanami wynosi k_B ln 2. Po pewnym wyzerowaniu ta część entropii znika. Nie oznacza to, że cała fizyczna pamięć ma teraz zerową entropię — usunęliśmy tylko niepewność dotyczącą zapisanego bitu.

Entropia pamięci i otoczenia łącznie nie może jednak zmaleć. Otoczenie musi więc przejąć przynajmniej tyle entropii, ile ubyło jej w pamięci. Gdy przejmuje ją w postaci ciepła przy stałej temperaturze, otrzymujemy właśnie dolną granicę k_BT ln 2. To skrócone wyprowadzenie zasady Landauera dla tego modelu. ^{5, 6}

Warto zauważyć słowo „średnio”. Przy pojedynczych cząstkach występują fluktuacje i konkretny przebieg doświadczenia może dać wynik poniżej tej wartości. Nie obala to zasady. Ograniczenie dotyczy średniej dla całej procedury. ⁶

Nie jest to też uniwersalny cennik za każdy bit zajętej pamięci. Inny rozkład prawdopodobieństw, dopuszczenie błędów albo wykorzystanie informacji zachowanej gdzie indziej zmieniają bilans. Trzeba policzyć, jaka informacja rzeczywiście zostaje utracona. ^{2, 7}

Policzmy, zamiast poprzestawać na wzorze

Przyjmijmy temperaturę 300 K, czyli około 27 °C. Korzystając z wartości stałej Boltzmanna k_B = 1,380649 × 10⁻²³ J/K, otrzymujemy:

To wynik podstawienia do wzoru, nie pomiar poboru energii przez konkretny komputer. ⁴

Jak mała jest ta liczba? Wyobraźmy sobie pamięć zawierającą jeden terabajt niezależnych, losowych bitów. Przyjmujemy tu terabajt dziesiętny: 10¹² bajtów, czyli 8 × 10¹² bitów. Minimalne ciepło oddane przy ich wyzerowaniu w tych samych warunkach wyniosłoby:

Około 23 nanodżule. Tyle energii zużyłoby urządzenie pobierające jeden wat przez zaledwie 23 nanosekundy.

Po takim rachunku można poczuć się trochę oszukanym. Tyle opowieści o fundamentalnym ograniczeniu, a wyszła ilość energii zupełnie nieprzydatna do ogrzania czegokolwiek na biurku.

I bardzo dobrze, że to policzyliśmy. Samo istnienie dolnej granicy nie mówi jeszcze, że jest ona duża. Nie wyceniliśmy też działania całego komputera. Policzyliśmy idealny koszt jednej, ściśle określonej operacji na pamięci. To nie to samo co energia potrzebna do jej wykonania przez procesor, kontroler, układy zasilania i pozostałe elementy urządzenia.

A co z demonem?

Możemy już wrócić do naszego dozorcy. Załóżmy, że zapisuje wyniki obserwacji, dzięki którym podejmuje decyzje o otwieraniu drzwi. Jeżeli ma skończoną pamięć i chce pracować cyklicznie, musi w którymś momencie przywrócić ją do stanu umożliwiającego następne obserwacje.

W standardowej analizie demona to właśnie reset pamięci przywraca poprawny bilans termodynamiczny. Zysk uzyskany dzięki wykorzystaniu informacji nie daje darmowej pracy po uwzględnieniu całego cyklu. Dokładanie kolejnych czystych rejestrów nie usuwa problemu: oznacza zużywanie dodatkowego zasobu, zamiast powrotu urządzenia do stanu początkowego. ²

Nie trzeba więc zakładać, że sam pomiar zawsze kosztuje określoną porcję energii. Można skonstruować jego idealny, odwracalny model. Nie wolno natomiast rozpatrywać gazu, zapominając o fizycznym stanie urządzenia, które go obserwuje i steruje drzwiczkami. ²

Demon nie przegrywa dlatego, że jest zbyt mało inteligentny. Przegrywa wtedy, gdy w rachunku pomija własną pamięć.

Czy ktoś to zmierzył?

Tak. W doświadczeniu opisanym w „Nature” w 2012 roku Antoine Bérut i współautorzy wykorzystali pojedynczą mikroskopijną kulkę krzemionkową w wodzie. Za pomocą lasera utworzyli dla niej dwa możliwe miejsca uwięzienia. Położenie kulki odpowiadało zeru albo jedynce — niemal dokładnie tak jak w naszym przykładzie. ⁵

Zmieniając kształt pułapki, badacze przeprowadzali procedurę resetowania pamięci i na podstawie ruchu cząstki wyznaczali oddawane ciepło. Przy coraz wolniejszym kasowaniu średni wynik zbliżał się do granicy Landauera. Mierzono bilans samej modelowej pamięci, nie zużycie energii przez laser i całe laboratorium. ^{5, 6}

Ta powolność jest istotna. Idealna granica nie oznacza, że można osiągnąć ją przy dowolnie krótkim czasie operacji. Koszt kasowania w skończonym czasie jest osobnym problemem badawczym; analizuje się w nim również to, jak poprowadzić zmianę stanu pamięci, żeby stracić możliwie mało energii. ⁷

Nie jest to zresztą zamknięty rozdział historii. W pracy opublikowanej w „Nature Physics” w 2025 roku Stefan Aimet i współautorzy badali uogólnioną zasadę Landauera w układzie wielu cząstek kwantowych, wykorzystując ultrazimne gazy atomowe. Śledzili związki między zmianami entropii, energii i korelacji. To już nie proste kasowanie pojedynczego bitu, lecz badanie nieodwracalności w znacznie bardziej złożonym układzie. ⁸

Komputer, który sprząta po sobie inaczej

Skoro problemem jest utrata informacji, nasuwa się pytanie: czy można zbudować komputer, który jej nie gubi?

Wróćmy do negacji. Operacja 0 → 1, 1 → 0 jest odwracalna. Z kolei zwykła bramka AND, która z dwóch bitów wejściowych pozostawia tylko jeden wynik, nie pozwala ogólnie odtworzyć wejścia. Wynik zero mógł powstać z pary 00, 01 albo 10. Zachowanie dodatkowej informacji o wejściu zmienia sytuację: nie musimy sprowadzać wszystkich trzech przypadków do tego samego końcowego stanu całej maszyny.

Charles Bennett pokazał w pracy z 1973 roku, że odwracalność nie musi ograniczać komputera do kilku prostych sztuczek. Można w ten sposób zorganizować ogólne obliczenia, zachowując dane wejściowe. Co więcej, nie trzeba bez końca gromadzić wszystkich wyników pośrednich. ³

Pomysł jest bardzo elegancki. Maszyna wykonuje obliczenie, zachowuje jego wynik w przygotowanym rejestrze, a następnie przechodzi przez wcześniejsze kroki w odwrotnej kolejności. W ten sposób odtwarza początkowy stan pamięci pomocniczej. Zamiast bezpowrotnie wyrzucać robocze informacje, cofa proces, który je wytworzył. Wynik i dane wejściowe pozostają dostępne. ³

Nie znaczy to, że uruchomienie programu od tyłu na zwykłym laptopie naładuje mu baterię. Odwracalność logiczna nie usuwa automatycznie strat w sprzęcie. Potrzebna jest odpowiednia realizacja fizyczna. Wynik Bennetta pokazuje jednak coś ważnego: z zasady Landauera nie wynika stała, nieunikniona opłata energetyczna za każdy krok dowolnego obliczenia. W idealnych modelach można wykonywać obliczenia odwracalne bez takiej opłaty. ^{3, 10}

Do kompletnego urządzenia dochodzą oczywiście sterowanie, niezawodność, przygotowanie i ponowne wykorzystanie pamięci. Różnica między modelem a maszyną nie znika. Znika natomiast pozorny dowód, że każda operacja musi z definicji oddać do otoczenia k_BT ln 2 ciepła. ¹⁰

Co z tego wynika dla sztucznej inteligencji?

Model AI nie dostaje osobnego zestawu praw termodynamiki. Jednak z samego wzoru Landauera nie obliczymy kosztu wygenerowania odpowiedzi, rozpoznania zdjęcia ani przeprowadzenia dowodu matematycznego. Liczba parametrów modelu czy długość odpowiedzi nie jest po prostu liczbą nieodwracalnie kasowanych bitów.

W rzeczywistych układach znaczenie ma nie tylko arytmetyka, lecz także przesyłanie danych między pamięcią a jednostkami obliczeniowymi. Dlatego poprawa efektywności może polegać na ograniczeniu tego transportu, wykorzystaniu mniejszej precyzji tam, gdzie jest wystarczająca, albo zmianie samego modelu i sposobu realizacji obliczeń. Takie podejścia bada się bez potrzeby naruszania jakiegokolwiek prawa fizyki. ⁹

Załóżmy, że dwa programy rozwiązują to samo zadanie, ale pierwszy nieustannie tworzy i odrzuca ogromne ilości danych pośrednich, a drugi znajduje drogę, na której potrzebuje ich znacznie mniej. Sam fakt istnienia granicy Landauera nie mówi, że oba muszą zapłacić tyle samo. Zadanie użytkownika może być identyczne, choć fizyczny przebieg obliczenia będzie inny.

Właśnie dlatego warto rozumieć to ograniczenie, zamiast tylko powtarzać jego nazwę. Dolna granica kosztu kasowania informacji nie jest dolną granicą pomysłowości w organizowaniu obliczeń.

Czy komputer musi więc się grzać? Ten na biurku — grzeje się. W przypadku komputera idealnego trzeba najpierw zapytać, jakie operacje wykonuje. Przetwarzanie informacji nie musi oznaczać jej niszczenia, a granica Landauera dotyczy określonego bilansu utraty informacji i zmian w otoczeniu. ¹⁰

Moim zdaniem najciekawszy w tej historii nie jest sam wzór. Jest nim fakt, że pytanie o gorący procesor prowadzi do pytania o to, co właściwie znaczy „zapomnieć”. I że czasem najlepszym sposobem ograniczenia kosztu kasowania nie jest doskonalsza gumka, lecz takie przeprowadzenie obliczenia, żeby nie trzeba było jej używać.

Źródła

1. R. Landauer (1961). Irreversibility and Heat Generation in the Computing Process. IBM Journal of Research and Development 5, 183–191.
2. C. H. Bennett (2003). Notes on Landauer’s Principle, Reversible Computation, and Maxwell’s Demon. Studies in History and Philosophy of Modern Physics 34, 501–510. Otwarta wersja autorska.
3. C. H. Bennett (1973). Logical Reversibility of Computation. IBM Journal of Research and Development 17, 525–532.
4. NIST / CODATA. Boltzmann constant. Wartość stałej Boltzmanna w Międzynarodowym Układzie Jednostek Miar.
5. A. Bérut i in. (2012). Experimental verification of Landauer’s principle linking information and thermodynamics. Nature 483, 187–189.
6. A. Bérut, A. Petrosyan, S. Ciliberto (2015). Information and thermodynamics: Experimental verification of Landauer’s erasure principle. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, P06015. Otwarta wersja autorska.
7. K. Proesmans, J. Ehrich, J. Bechhoefer (2020). Finite-Time Landauer Principle. Physical Review Letters 125, 100602. Otwarta wersja autorska.
8. S. Aimet i in. (2025). Experimentally probing Landauer’s principle in the quantum many-body regime. Nature Physics 21, 1326–1331.
9. V. Sze, Y.-H. Chen, T.-J. Yang, J. Emer (2017). Efficient Processing of Deep Neural Networks: A Tutorial and Survey. Proceedings of the IEEE. Otwarta wersja autorska.
10. IBM Quantum (2022). A Q&A with recently elected Royal Society foreign member, Charles H. Bennett. Rozmowa z Charlesem Bennettem o fizycznych granicach obliczeń.