Rakieta na orbicie

Wiadomość email od nadawcy kaszaran:

"Witam!
Od pewnego czasu, trapi mnie pewien kłopot. Można powiedzieć iż spędza mi sen z powiek. Nie jestem biegły w fizyce ponieważ chodzę do gimnazjum. Mimo iż znacznie ( w porównaniu z innymi uczniami ) poszerzyłem mą wiedzę nie znalazłem odpowiedzi. A więc przechodzę do rzeczy.
Otóż jak wiadomo by ciało ( na ziemi ) weszło na orbitę innego ciała niebieskiego musi osiągnąć I prędkość kosmiczną tj. 7,91 km/s. I tutaj pojawiło się pytanie: co by się stało gdyby skonstruować rakietę która miałaby nie wyczerpany zapas paliwa i leciała by w górę ze stałą prędkością np 7 km/s? Nie mogła by przecież wejść na orbitę okołoziemską. Są to oczywiście rozważania czysto hipotetyczne. Z góry dziękuję."

Przede wszystkim nieskończony zapas paliwa wiąże się z nieskończoną masą tego paliwa (nawet jeśli paliwem byłaby czysta energia, to i tak posiada masę), ale ok - podejdźmy do tego teoretycznie.

No więc tak: Pierwsza prędkość kosmiczna (dalej będę używał p.p.k.) jest wyliczona dla przypadku braku tarcia, ale załóżmy, że jednak nie ma tarcia.

Jeśli twoja rakieta ma mieć cały czas stałą prędkość (nieważne jaką, ważne, aby była skierowana "do góry" <<od Ziemi>>), to wg I zas. dyn. Newtona siły działające na rakietę się równoważą (odrzucamy przypadek braku sił z oczywistych powodów). Zatem jeśli leci ze stałą prędkością w górę, to nie ma innych powodów (bo wszystkie inne powody-siły się skompensują do zera), żeby nie leciało dalej - po prostu wyleci poza orbitę, a dalej to niewiadomo gdzie (zakładamy brak innych ciał niebieskich).

Przede wszystkim pierwsza prędkość kosmiczna musi być nadana w kierunku prostopadłym, czyli stycznie do powierzchni, bo taki jest rodowód wzoru - z przyrównania siły dośrodkowej do grawitacji (bo prędkość jest styczna do krzywej toru - w naszym przypadku do okręgu).
Ale spróbuj rozważyć następujące zagadnienie.
Rakieta znajduje się oczywiście w centralnym polu sił (siła grawitacyjna zalicza się do takich). Załóżmy, że rakieta startuje, a my nadaliśmy jej zarówno prędkość radialną ("do góry") oraz prędkość poziomą, ale ze stałym przyspieszeniem (no bo jakoś musi osiągnąć p.p.k.; a jak już osiągnie to "odcinamy" przyspieszenie). Tor, wyglądający jak rozwijająca się spirala, można podzielić na kawałki radialne i prostopadłe (czyli na pionowe i wycinki koła). Praca na kawałkach prostopadłych = 0, bo wektor siły jest prostopadły do przesunięcia, więc jedyny wkład w pracę pochodzi od składowych "pionowych". Spróbuj się zastanowić, przy zadanym np. stałym współczynniku tarcia, jaka powinna byc prędkość rakiety i związane z tym inne parametry. Najlepiej pracować na współrzędnych biegunowych.